題目

給你六種面額 1、5、10、20、50、100 元的紙幣，假設每種幣值的數量都足夠多，編寫程式求組成N元（N為0~10000的非負整數）的不同組合的個數。

• 輸入
  輸入包括一個整數n(1 ≤ n ≤ 10000)

• 輸出
  輸出一個整數,表示不同的組合方案數

解析

看到這道題目，我的第一反映這是一道dp問題，因為類似的題目太多了，比如青蛙跳臺階，和這個題目是一樣的問法。一次可以跳幾階，和一次用幾種硬幣，然後都有一個目標值，總共為N元（N階）。所以最先想到的方法是遞迴求解，

f(N) = f(N-1)+f(N-5)+…+f(N-100)

然後按照一般的dp問題解決方法，寫出遞迴公式後，找遞迴出口。這個時候我就遇到了問題。1,5,10,20,50,100這幾個數字，需要多次判斷N的值與各個幣值的大小關係，而且與跳臺階本質上有一個不同的就是，跳臺階是一個順序的過程，而拼湊錢幣是沒有先後順序一說的，也就是，我只考察各個幣種的個數，而不關心拿出的順序。所以直接使用遞迴，會有大量的重複資料。

這個時候更換思路，不要從後往前遍歷所有的解，而是，從前往後推出所有的合法解。最粗暴的思路就是列舉，6層迴圈判斷所有合理解。然後考慮在這6層迴圈中，有沒有什麼限制條件：

• 幣種1，對於任意N，都只有一種方法 1 * N

• 幣種100（最大面值），其方法數，包含了許多子問題：100，可以使用的方法有 N/100種，那麼剩下的問題就是，N -k*100 為最終目標時，使用｛1,5,10,20,50｝這些幣種所構成的方法數。

根據上面的限制二，我們有看到熟悉的DP味道。這樣，不斷的把問題簡化為子問題，最終不就回到了只剩下幣種為1時的問題規模。現在我們就要考慮怎麼用程式碼來模擬這個過程的問題。類似DP問題，我們需要一個遞迴筆記本，記錄過程中所有的方法解，然後根據現有解，去推出未知解。

接下來看程式碼：

import java.util.*;

public class Main{
    public static long solution(int n) {
        int coins[] = { 1, 5, 10, 20, 50, 100 };
        int h = coins.length;
        long dp[][] = new long[h][n + 1];//存放所有解的筆記本，二維陣列存放
        //dp[x][y]:x 為當前可用幣種數目，y 為所需要湊的目標值即子問題的目標值
        Arrays.fill(dp[0], 1
 
);//當幣種為1時，對於任意N都為1種解法
        for (int i = 1; i < h; i++) {//逐次增加幣種
            for (int j = 1; j <= n; j++) {//逐次增加目標值
                int m = j / coins[i];//當前問題，可用的最大幣種的數量
                for (int k = 0; k <= m; k++) {
                //用K個最大幣種時，問題縮小為：用1~次最大幣種，目標值為j-K*coins[i]的解法有
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j - k * coins[i]];
                }
            }
        }
        //所有子問題解決，得到最終的解
        return dp[h - 1][n];
    }

    public static void main(String args[]) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        System.out.println(solution(n))
    }
}

總結

（個人看法，僅供參考）
DP問題的本質，是將問題分為若干個有限規模的子問題，然後根據子問題，得到最終解，並且子問題是相同的。不管是遞推還是遞迴，都是DP問題的解決思路，只不過一個是從初始狀態開始，類似迴圈列舉，遞迴是從結果開始。遞迴很難控制，整個程式的發展順序，一般都會遍歷到所有解，包括重複解，而遞推不同在於，可以控制，整個遞推的過程，從而篩選掉不需要的解。各有利弊，面對不同的問題，靈活運用最好。