注意

以下內容僅作為個人筆記，初學者請不要參考本篇內容，歡迎學過的同學指正錯誤。

正文

首先給出兩種收斂的定義。對於一個隨機變數序列 {θ^n(x)}n，這個隨機變數的值由隨機變數 x 決定。對於任意正實數 ϵ，如果存在一個隨機變數 θ(x) 使下式成立:

limn→∞Pr(x,|θ^n(x)−θ(x)|<ϵ)=1,
則稱序列 {θ^n(x)}n 依概率收斂到隨機變數 θ(x)。

如果對於任意正實數 ϵ，如果存在一個隨機向量 θ(x) 使下式成立:

Pr(x,limn→∞|θ^n(x)−θ(x)|<ϵ)=1,
則稱序列 {θ^n(x)}n 幾乎處處收斂到隨機變數 θ

(x)。

直觀來說，在 n 大到一定程度，前者的含義是 θ^n(x) 與 θ(x) 的距離小於 ϵ 的概率收斂到 1 上；後者的含義是， θ^n(x) 與 θ(x) 的距離以 100% 的概率在 ϵ 以內。準確來說，幾乎處處收斂其實並不要求在 x 的取值範圍內所有的取值都使得θ^n(x) 與 θ(x) 的距離在 ϵ 以內，要理解這一點需要測度論的知識，我還沒接觸過這方面的知識，但有一個例子很好理解：對於 x∈[0,1]，如果只有 x=1 使得 |θ^n(x)−θ(x)|≥ϵ 成立，我們仍然可以說 {θ^n(x)}n 幾乎處處收斂，這是因為 Pr(x=1)=0，因而 Pr(x∈[0,1))=1。

具體來說，這兩種收斂的區別是什麼呢？對於足夠大的 n

來說，前者不需要滿足 |θ^n(x)−θ(x)|<ϵ 在 x 所有的取值範圍上成立，也就是可能存在一個區間 [x0,x0+O(g(x))] 使得 |θ^n(x)−θ(x)|≥ϵ 成立，而後者，如上一段所說的，要求這個不等式最多隻能在 x 取某一個值 x0 上成立。

如果仍然難以理解，這裡可以舉例子說明。設隨機變數 x 是在區間 [0,1] 上的均勻分佈，定義關於 x 的隨機變數序列為：

θ^n(x)=x+xn.
定義隨機變數：
θ(x)=s.
可以發現這個隨機變數只在 x=1 時才有

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