重積分和線面積分總結
因為要準備省賽,所以要加強對演算法的學習,但是我卻以這為理由,放鬆了對高數、線代等其他學科的學習,現在看來,這是不理智的,因為“學習都是相通的”,搞演算法也要有良好的基礎,而且題目也有不少直接是高數的定理、公式,所以我悔悟了,準備好好對待各個學科,從高數走起。
重積分
一、二重積分的概念和性質
定義:二重積分是二元函式在平面區域上的積分,同定積分類似,是某種特定形式的和的極限。
這裡面的基本概念我就不一一列舉了,思想是“大化小,常代變,近似和,取極限”,這個思想到後面的線面積分都會一直用到。
性質:
1.積分可加性(滿足數乘)——線性性質
2.區域可加性(分段可加性)
3.如果在D上,f(x,y)=1,面積為S
∫∫dxdy=∫∫dS=S4.如果在區域D上有f(x,y)≦g(x,y),則 由於 -| f(x,y) |<=f(x,y)<=| f(x,y) |
得
5.設M和m分別是函式f(x,y)在有界閉區域D上的最大值和最小值,σ為區域D的面積, 則 6.(二重積分的中值定理) 設函式f(x,y)在有界閉區域D上連續,σ為區域的面積,則在D上至少存在一點(ξ,η),使得 (部分公式直接從百度百科上扒的)
二、二重積分的計演算法
1.利用直角座標計算二重積分
先x後y
先y後x
2.利用
三、三重積分
定義:略。
性質(類比於二重積分,不再贅述)。
計算方法:
1.利用直角座標計算三重積分
1.“先一後二”法(思想:穿刺投影)
2..“先二後一”法(兩種方法最終都是要化成三次積分法的)
2.利用柱面座標計算三重積分
3.利用球面座標計算三重積分
四、重積分的應用
1.曲面的面積
2.質心
3.轉動慣量
4.引力
曲線積分與曲面積分
一、對弧長的積分
曲線積分分為:對弧長的曲線積分 (第一類曲線積分)
對座標軸的曲線積分(第二類曲線積分)
兩種曲線積分的區別主要在於積分元素的差別;對弧長的曲線積分的積分元素是弧長元素ds;例如:對L的曲線積分∫f(x,y)*ds 。對座標軸
被積函式是1的話,積分結果是弧長。
定積分不可看做對弧長曲線積分的特例
性質:分段可加性、對稱性、輪換對稱性等等。
遵循“偶零奇倍”的原則
計算方法:
二、對座標的曲線積分
三、格林公式及其應用
四、對面積的曲面積分
五、對座標的曲面積分
六、高斯公式
七、斯托克斯公式
(待續……