二重積分一般有三個考點

給定所求二重積分方程、所圍區域D的方程求二重積分的值

這是考的最多的一點
例如
計算∬xydσ ，其中D是由直線y=1,x=2及y=x所圍成的閉區域
一般做題思路：
1、閉區域自然是封閉的，在畫圖之前先求出交點（1,1）（2,2），畫出影象

如上圖所示，D即是要求的閉區域
2、把D看做X型區域，然後就開始求x，y的範圍
因為把D看做X型區域所以1≤x≤2(注意x的上下限都是常數)，1≤y≤x（特別注意D區域因為y=x在上面，y=1在下面所以得到這樣的關係）

另外如果把D區域看做Y型區域（可以把上面的影象逆時針旋轉九十度）

把D看做Y型區域，然後就開始求x，y的範圍
因為把D看做Y型區域所以1≤y≤2(注意y的上下限都是常數)，y≤x≤2（特別注意D區域因為y=2在上面,x=y在下面所以得到這樣的關係，與X型區域作比較）

交換二重積分的積分次序

簡單的二重積分（x與y的上下限中只有一個函式）
例如
交換下列二重積分的積分次序

由題意，積分割槽域D為Y型區域，1≤y≤2, 0≤x≤lny
轉換成X型區域 想象下 lny函式必定在上面，所以x的最大值在y=2處取得，即x≤ln2
得0≤x≤ln2
x≤lny 化簡得 y≥ex 得ex≤y≤2

複雜的二重積分
例如
交換下列二重積分的積分次序

由題意得，積分割槽域D為X型區域，0≤x≤1，x≤y≤2-x
所以y=x y=2-x

如上圖所示，需要分段，用直線y=1分成D1和D2兩部分

D1={(x,y)| 0≤y≤1,0≤x≤y}
D2={(x,y)| 1≤y≤2,0≤x≤2-y}

使用極座標求二重積分

一般是求圓和圓弧的閉區域
將常規的x,y分別換成ρcosθ,ρsinθ
假設積分局域D可以用不等式 α≤ρ≤β，φ1≤θ≤φ2 ，其他條件忽略

具體步驟不寫了~