錢能的C++教程上，有一段求1億內素數的個數的程式，之前理解得不透，今天才稍微往深了理解了一些。


一般的思路就不說了，效率低得很。書裡介紹了一種用空間換時間的方法：即用二進位制中的一位代表數字。顯然需要1億位，可以用int型中的位，也可以用位集bitset。


書中有這樣一段程式：


for(int i=2;i<=10000;i++)
  if(p->test(i))
    for(int j=i*i;j<p-size();j+=i)
        p-reset(j);


單看這段程式，嘗試了2到10000的所有素數的小於1億的倍數，然後將位集中的相應位設為0，將其排除。


以前看到的時候，主要有兩個疑問：
1.為什麼有if(p->test(i))這個條件判斷？
2.1萬內所有數的倍數能否囊括掉1億內的所有合數？


凡事就怕琢磨，一琢磨就能發現其實裡面值得思考的地方還是挺多的。假設集合A：2-9999的小於1億的所有倍數；集合B：1億內所有的合數（不包括1億）。看看這兩個集合是否相等。
在證明之前，我先解釋一下為什麼考察的是2-9999的倍數，因為畢竟程式中嘗試了2-10000的素數。其實，“2-9999的小於1億的所有倍數”和“2-10000的小於1億的所有倍數”是同一個集合。10000的小於1億的倍數被包括在了2-9999的倍數中。


證明：對於集合A中的每一個元素，肯定屬於集合B，故B>=A；
      對於集合B中的每一個元素，都有一個小於1萬的因子，即B中的元素n=x*y，x小於1萬。故也屬於集      合A，所以A>=B；
      綜上，A=B。
所以，我們原來的思路是：剔除掉1億內的所有合數。現在，我們轉換思路：剔除掉2-9999的所有小於1億的倍數。


那麼，怎麼能夠遍歷2-9999所有的小於1億的倍數呢？這個問題解決了，上述問題1也就解決了。最笨的方法，對於2-9999間的所有的數字，分別遍歷每一個的所有倍數。例如，數字2，要遍歷2*2,2*3,2*4，......,2*49999999；再例如，數字3，要遍歷3*2,3*3,3*4，......，3*33333333.以此類推。可以發現，這樣遍歷會有重複。改進之，對於數字3，從3倍開始即可，即遍歷3*3,3*4,3*5,......,3*33333333。不要嫌我囉嗦，我再舉個例子，腦子慢。對於數字6，遍歷6*6,6*7,6*8，......，6*16666666。再看，對於6來說，本身6=2*3是2的倍數，所以，2的倍數肯定囊括了6的倍數。也就是說，對於前面已經確定為合數的數字，不需要再去遍歷他們的倍數，因為前面肯定已經遍歷過了。這就是if(p-test(i))這個條件判斷的作用。這樣精簡下來，要遍歷的數明顯變少。


老鳥們估計一眼就看出來了，所以看到我用這麼多的篇幅說了兩個這樣扯淡的問題難免要噴了。但是，這畢竟是我思考了很久才想出的解，不要噴太狠。