高精度計算(High-Precision_Calculation)

阿新 • • 發佈：2019-01-01

在說高精度加減乘除運算之前，我們先搞明白什麼是高精度運算？

實際上高精度就是說參與運算的資料和運算結果的範圍，超出標準資料型別能表示的資料大小範圍的運算。這個時候，如果要得到正確的計算結果，顯然不能依靠普通方法實現了。而要在普通運算原理的基礎上，加以輔助演算法來實現超大資料的計算。例如：求兩個100位的資料的和，或者計算兩個100位的數字乘積。這時就要用到高精度演算法了。

一、高精度加法

高精度加法的實現原理：

1、計算結果的位數

358934760892734899共18位

38960302975237462共17位

故結果不會超過19位。

2、將要計算的數字分割成多段，按照順序排列（這裡以0-32767作為每一儲存單位儲存的數的限制）：

（為提高空間利用效率，可以一個儲存單位儲存多位數。）

3、將兩數相加。

4、輸出結果。

從高位到低位依次輸出。除最高位以外，其他低位上不足4位的要在前面補上0。

5、程式碼示例：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=110;
string add(string a,string b)//只限兩個非負整數相加
{
    string ans;
    int na[L]={0},nb[L]={0};
    int la=a.size(),lb=b.size();
    for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
    for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
    int lmax=la>lb?la:lb;
    for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10;
    if(na[lmax]) lmax++;
    for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
    return ans;
}
int main()
{
    string a,b;
    while(cin>>a>>b) cout<<add(a,b)<<endl;
    return 0;
}

6、例題

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1601

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1002

二、高精度減法

高精度減法的實現原理：

1、高精度減法相比高精度加法來說，稍微複雜一點，因為減法在差為負數時處理的細節更多一點：當被減數小於減數時，差為負數，差的絕對值是減數減去被減數；在程式實現上用一個變數來儲存符號位，用另一個數組存差的絕對值。

2、實現流程

(1).先比較大小

(2).決定輸出符號，為正還是為負

(3).按位減法，並注意處理借位

3、程式碼示例：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=110;
string sub(string a,string b)//只限大的非負整數減小的非負整數
{
    string ans;
    int na[L]={0},nb[L]={0};
    int la=a.size(),lb=b.size();
    for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
    for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
    int lmax=la>lb?la:lb;
    for(int i=0;i<lmax;i++)
    {
        na[i]-=nb[i];
        if(na[i]<0) na[i]+=10,na[i+1]--;
    }
    while(!na[--lmax]&&lmax>0)  ;lmax++;
    for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
    return ans;
}
int main()
{
    string a,b;
    while(cin>>a>>b) cout<<sub(a,b)<<endl;
    return 0;
}

6、例題

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2142

三、高精度乘法

高精度乘法實現原理：

1、由於數字較大，無法使用簡單的資料結構進行儲存，選用陣列和字串來儲存數字，字串方便我們對於高位整數的輸入，而整形陣列的簡便有利於每個位數的計算，結合兩者優點便可實現高精度乘法。

2、實現過程：

(1).通過兩個字串輸入兩個整數

(2).引入兩個陣列，將每個整數切割儲存到數組裡面

(3).進行每一位的運算

(4).處理進位

(5).輸出結果

3、高精度乘高精度的樸素演算法

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=110;
string mul(string a,string b)//高精度乘法a,b,均為非負整數
{
    string s;
    int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na儲存被乘數，nb儲存乘數，nc儲存積
    fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//將na,nb,nc都置為0
    for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//將字串表示的大整形數轉成i整形陣列表示的大整形數
    for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0';
    for(int i=1;i<=La;i++)
        for(int j=1;j<=Lb;j++)
        nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位為積的第i+j-1位（先不考慮進位）
    for(int i=1;i<=La+Lb;i++)
        nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//統一處理進位
    if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判斷第i+j位上的數字是不是0
    for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)
        s+=nc[i]+'0';//將整形陣列轉成字串
    return s;
}
int main()
{
    string a,b;
    while(cin>>a>>b) cout<<mul(a,b)<<endl;
    return 0;
}

5、高精度乘高精度FFT優化演算法

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
#define L(x) (1 << (x))
const double PI = acos(-1.0);
const int Maxn = 133015;
double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn];
char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2];
int sum[Maxn];
int x1[Maxn],x2[Maxn];
int revv(int x, int bits)
{
    int ret = 0;
    for (int i = 0; i < bits; i++)
    {
        ret <<= 1;
        ret |= x & 1;
        x >>= 1;
    }
    return ret;
}
void fft(double * a, double * b, int n, bool rev)
{
    int bits = 0;
    while (1 << bits < n) ++bits;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int j = revv(i, bits);
        if (i < j)
            swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);
    }
    for (int len = 2; len <= n; len <<= 1)
    {
        int half = len >> 1;
        double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);
        if (rev) wmy = -wmy;
        for (int i = 0; i < n; i += len)
        {
            double wx = 1, wy = 0;
            for (int j = 0; j < half; j++)
            {
                double cx = a[i + j], cy = b[i + j];
                double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];
                double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx;
                a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey;
                a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey;
                double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx;
                wx = wnx, wy = wny;
            }
        }
    }
    if (rev)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            a[i] /= n, b[i] /= n;
    }
}
int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[])
{
    int len = max(na, nb), ln;
    for(ln=0; L(ln)<len; ++ln);
    len=L(++ln);
    for (int i = 0; i < len ; ++i)
    {
        if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0;
        else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;
    }
    fft(ax, ay, len, 0);
    for (int i = 0; i < len; ++i)
    {
        if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0;
        else bx[i] = b[i], by[i] = 0;
    }
    fft(bx, by, len, 0);
    for (int i = 0; i < len; ++i)
    {
        double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i];
        double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i];
        ax[i] = cx, ay[i] = cy;
    }
    fft(ax, ay, len, 1);
    for (int i = 0; i < len; ++i)
        ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);
    return len;
}
string mul(string sa,string sb)
{
    int l1,l2,l;
    int i;
    string ans;
    memset(sum, 0, sizeof(sum));
    l1 = sa.size();
    l2 = sb.size();
    for(i = 0; i < l1; i++)
        x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0';
    for(i = 0; i < l2; i++)
        x2[i] = sb[l2-i-1]-'0';
    l = solve(x1, l1, x2, l2, sum);
    for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 進位
    {
        sum[i + 1] += sum[i] / 10;
        sum[i] %= 10;
    }
    l = i;
    while(sum[l] <= 0 && l>0)    l--; // 檢索最高位
    for(i = l; i >= 0; i--)    ans+=sum[i] + '0'; // 倒序輸出
    return ans;
}
int main()
{
    cin.sync_with_stdio(false);
    string a,b;
    while(cin>>a>>b) cout<<mul(a,b)<<endl;
    return 0;
}

6、高精度乘單精度

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=100005;
int na[L];
string mul(string a,int b)//高精度a乘單精度b
{
    string ans;
    int La=a.size();
    fill(na,na+L,0);
    for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i-1]=a[i]-'0';
    int w=0;
    for(int i=0;i<La;i++) na[i]=na[i]*b+w,w=na[i]/10,na[i]=na[i]%10;
    while(w) na[La++]=w%10,w/=10;
    La--;
    while(La>=0) ans+=na[La--]+'0';
    return ans;
}
int main()
{
    string a;
    int b;
    while(cin>>a>>b) cout<<mul(a,b)<<endl;
    return 0;
}

7、例題

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1303

四、高精度除法

1、高精度除高精度

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=110;
int sub(int *a,int *b,int La,int Lb)
{
    if(La<Lb) return -1;//如果a小於b，則返回-1
    if(La==Lb)
    {
        for(int i=La-1;i>=0;i--)
            if(a[i]>b[i]) break;
            else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小於b，則返回-1

    }
    for(int i=0;i<La;i++)//高精度減法
    {
        a[i]-=b[i];
        if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--;
    }
    for(int i=La-1;i>=0;i--)
        if(a[i]) return i+1;//返回差的位數
    return 0;//返回差的位數

}
string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字串表示的被除數，除數,nn是選擇返回商還是餘數
{
    string s,v;//s存商,v存餘數
     int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形陣列表示被除數，除數，tp儲存被除數的長度
     fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//陣列元素都置為0
     for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0';
     for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0';
     if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) {
            //cout<<0<<endl;
     return n1;}//如果a<b,則商為0，餘數為被除數
     int t=La-Lb;//除被數和除數的位數之差
     for(int i=La-1;i>=0;i--)//將除數擴大10^t倍
        if(i>=t) b[i]=b[i-t];
        else b[i]=0;
     Lb=La;
     for(int j=0;j<=t;j++)
     {
         int temp;
         while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除數比除數大繼續減
         {
             La=temp;
             r[t-j]++;
         }
     }
     for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//統一處理進位
     while(!r[i]) i--;//將整形陣列表示的商轉化成字串表示的
     while(i>=0) s+=r[i--]+'0';
     //cout<<s<<endl;
     i=tp;
     while(!a[i]) i--;//將整形陣列表示的餘數轉化成字串表示的</span>
     while(i>=0) v+=a[i--]+'0';
     if(v.empty()) v="0";
     //cout<<v<<endl;
     if(nn==1) return s;
     if(nn==2) return v;
}
int main()
{
    string a,b;
    while(cin>>a>>b) cout<<div(a,b,1)<<endl;
    return 0;
}

2、高精度除單精度

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
string div(string a,int b)//高精度a除以單精度b
{
    string r,ans;
    int d=0;
    if(a=="0") return a;//特判
    for(int i=0;i<a.size();i++)
    {
            r+=(d*10+a[i]-'0')/b+'0';//求出商
            d=(d*10+(a[i]-'0'))%b;//求出餘數
    }
    int p=0;
    for(int i=0;i<r.size();i++)
    if(r[i]!='0') {p=i;break;}
    return r.substr(p);
}
int main()
{
    string a;
    int b;
    while(cin>>a>>b)
    {
        cout<<div(a,b)<<endl;
    }
    return 0;
}

五、高精度取模

1、高精度對高精度取模

(已在高精度除高精度中實現，此處不再贅述)

2、高精度對單精度取模

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int mod(string a,int b)//高精度a除以單精度b
{
    int d=0;
    for(int i=0;i<a.size();i++) d=(d*10+(a[i]-'0'))%b;//求出餘數
    return d;
}
int main()
{
    string a;
    int b;
    while(cin>>a>>b)
    {
        cout<<mod(a,b)<<endl;
    }
    return 0;
}

六、高精度階乘

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=100005;
int a[L];
string fac(int n)
{
    string ans;
    if(n==0) return "1";
    fill(a,a+L,0);
    int s=0,m=n;
    while(m) a[++s]=m%10,m/=10;
    for(int i=n-1;i>=2;i--)
    {
        int w=0;
        for(int j=1;j<=s;j++) a[j]=a[j]*i+w,w=a[j]/10,a[j]=a[j]%10;
        while(w) a[++s]=w%10,w/=10;
    }
    while(!a[s]) s--;
    while(s>=1) ans+=a[s--]+'0';
    return ans;
}
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n) cout<<fac(n)<<endl;
    return 0;
}

七、高精度冪

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
#define L(x) (1 << (x))
const double PI = acos(-1.0);
const int Maxn = 133015;
double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn];
char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2];
int sum[Maxn];
int x1[Maxn],x2[Maxn];
int revv(int x, int bits)
{
    int ret = 0;
    for (int i = 0; i < bits; i++)
    {
        ret <<= 1;
        ret |= x & 1;
        x >>= 1;
    }
    return ret;
}
void fft(double * a, double * b, int n, bool rev)
{
    int bits = 0;
    while (1 << bits < n) ++bits;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int j = revv(i, bits);
        if (i < j)
            swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);
    }
    for (int len = 2; len <= n; len <<= 1)
    {
        int half = len >> 1;
        double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);
        if (rev) wmy = -wmy;
        for (int i = 0; i < n; i += len)
        {
            double wx = 1, wy = 0;
            for (int j = 0; j < half; j++)
            {
                double cx = a[i + j], cy = b[i + j];
                double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];
                double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx;
                a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey;
                a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey;
                double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx;
                wx = wnx, wy = wny;
            }
        }
    }
    if (rev)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            a[i] /= n, b[i] /= n;
    }
}
int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[])
{
    int len = max(na, nb), ln;
    for(ln=0; L(ln)<len; ++ln);
    len=L(++ln);
    for (int i = 0; i < len ; ++i)
    {
        if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0;
        else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;
    }
    fft(ax, ay, len, 0);
    for (int i = 0; i < len; ++i)
    {
        if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0;
        else bx[i] = b[i], by[i] = 0;
    }
    fft(bx, by, len, 0);
    for (int i = 0; i < len; ++i)
    {
        double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i];
        double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i];
        ax[i] = cx, ay[i] = cy;
    }
    fft(ax, ay, len, 1);
    for (int i = 0; i < len; ++i)
        ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);
    return len;
}
string mul(string sa,string sb)
{
    int l1,l2,l;
    int i;
    string ans;
    memset(sum, 0, sizeof(sum));
    l1 = sa.size();
    l2 = sb.size();
    for(i = 0; i < l1; i++)
        x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0';
    for(i = 0; i < l2; i++)
        x2[i] = sb[l2-i-1]-'0';
    l = solve(x1, l1, x2, l2, sum);
    for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 進位
    {
        sum[i + 1] += sum[i] / 10;
        sum[i] %= 10;
    }
    l = i;
    while(sum[l] <= 0 && l>0)    l--; // 檢索最高位
    for(i = l; i >= 0; i--)    ans+=sum[i] + '0'; // 倒序輸出
    return ans;
}
string Pow(string a,int n)
{
    if(n==1) return a;
    if(n&1) return mul(Pow(a,n-1),a);
    string ans=Pow(a,n/2);
    return mul(ans,ans);
}
int main()
{
    cin.sync_with_stdio(false);
    string a;
    int b;
    while(cin>>a>>b) cout<<Pow(a,b)<<endl;
    return 0;
}

八、高精度GCD

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=110;
string add(string a,string b)
{
    string ans;
    int na[L]={0},nb[L]={0};
    int la=a.size(),lb=b.size();
    for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
    for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
    int lmax=la>lb?la:lb;
    for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10;
    if(na[lmax]) lmax++;
    for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
    return ans;
}
string mul(string a,string b)
{
    string s;
    int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na儲存被乘數，nb儲存乘數，nc儲存積
    fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//將na,nb,nc都置為0
    for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//將字串表示的大整形數轉成i整形陣列表示的大整形數
    for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0';
    for(int i=1;i<=La;i++)
        for(int j=1;j<=Lb;j++)
        nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位為積的第i+j-1位（先不考慮進位）
    for(int i=1;i<=La+Lb;i++)
        nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//統一處理進位
    if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判斷第i+j位上的數字是不是0
    for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)
        s+=nc[i]+'0';//將整形陣列轉成字串
    return s;
}
int sub(int *a,int *b,int La,int Lb)
{
    if(La<Lb) return -1;//如果a小於b，則返回-1
    if(La==Lb)
    {
        for(int i=La-1;i>=0;i--)
            if(a[i]>b[i]) break;
            else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小於b，則返回-1

    }
    for(int i=0;i<La;i++)//高精度減法
    {
        a[i]-=b[i];
        if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--;
    }
    for(int i=La-1;i>=0;i--)
        if(a[i]) return i+1;//返回差的位數
    return 0;//返回差的位數

}
string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字串表示的被除數，除數,nn是選擇返回商還是餘數
{
    string s,v;//s存商,v存餘數
     int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形陣列表示被除數，除數，tp儲存被除數的長度
     fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//陣列元素都置為0
     for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0';
     for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0';
     if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) {
            //cout<<0<<endl;
     return n1;}//如果a<b,則商為0，餘數為被除數
     int t=La-Lb;//除被數和除數的位數之差
     for(int i=La-1;i>=0;i--)//將除數擴大10^t倍
        if(i>=t) b[i]=b[i-t];
        else b[i]=0;
     Lb=La;
     for(int j=0;j<=t;j++)
     {
         int temp;
         while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除數比除數大繼續減
         {
             La=temp;
             r[t-j]++;
         }
     }
     for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//統一處理進位
     while(!r[i]) i--;//將整形陣列表示的商轉化成字串表示的
     while(i>=0) s+=r[i--]+'0';
     //cout<<s<<endl;
     i=tp;
     while(!a[i]) i--;//將整形陣列表示的餘數轉化成字串表示的</span>
     while(i>=0) v+=a[i--]+'0';
     if(v.empty()) v="0";
     //cout<<v<<endl;
     if(nn==1) return s;
     if(nn==2) return v;
}
bool judge(string s)//判斷s是否為全0串
{
    for(int i=0;i<s.size();i++)
        if(s[i]!='0') return false;
    return true;
}
string gcd(string a,string b)//求最大公約數
{
    string t;
    while(!judge(b))//如果餘數不為0，繼續除
    {
        t=a;//儲存被除數的值
        a=b;//用除數替換被除數
        b=div(t,b,2);//用餘數替換除數
    }
    return a;
}
int main()
{
    cin.sync_with_stdio(false);
    string a,b;
    while(cin>>a>>b) cout<<gcd(a,b)<<endl;
    return 0;
}

九、高精度進位制轉換

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
//將字串表示的10進位制大整數轉換為m進位制的大整數
//並返回m進位制大整數的字串
bool judge(string s)//判斷串是否為全零串
{
    for(int i=0;i<s.size();i++)
        if(s[i]!='0') return 1;
    return 0;
}
string solve(string s,int n,int m)//n進位制轉m進位制只限0-9進位制，若涉及帶字母的進位制，稍作修改即可
{
    string r,ans;
    int d=0;
    if(!judge(s)) return "0";//特判
    while(judge(s))//被除數不為0則繼續
    {
        for(int i=0;i<s.size();i++)
        {
            r+=(d*n+s[i]-'0')/m+'0';//求出商
            d=(d*n+(s[i]-'0'))%m;//求出餘數
        }
       s=r;//把商賦給下一次的被除數
       r="";//把商清空
        ans+=d+'0';//加上進位制轉換後數字
        d=0;//清空餘數
    }
    reverse(ans.begin(),ans.end());//倒置下
    return ans;
}
int main()
{
    string s;
    while(cin>>s)
    {
        cout<<solve(s,10,7)<<endl;
    }
    return 0;
}

高精度計算(High-Precision_Calculation)

一、高精度加法

二、高精度減法

三、高精度乘法

四、高精度除法

五、高精度取模

六、高精度階乘

七、高精度冪

八、高精度GCD

九、高精度進位制轉換

高精度計算(High-Precision_Calculation)

51nod 1873 高精度計算

php高精度計算問題

Java 使用BigDecimal類處理高精度計算

高精度計算_大整數_加_減_乘_除_int型_模板_基於deque

高精度計算_大整數_加_減_乘_除_大整數_基於vector_高效計算_模板

大數，高精度計算---高精度冪次

資訊學奧賽系列教程：高精度計算

高精度計算_大整數加_減_乘_除_int型模板_基於deque

JAVA BigDecimal類---高精度計算

php 處理高精度計算函式金額計算類

資訊學奧賽一本通（C++版）第二部分基礎演算法第一章高精度計算

高精度計算模板

高精度計算-大整數乘法

php 高精度計算的問題，例如9.95+0.01

資訊學奧賽一本通（C++版）第二部分基礎演算法第一章高精度計算

資訊學奧賽一本通演算法（C++版）基礎演算法：高精度計算高精度加法(大位相加)

Java解決高精度計算問題

Java使用BigDecimal進行高精度計算

Java高精度計算

高精度計算(High-Precision_Calculation)

一、高精度加法

二、高精度減法

三、高精度乘法

四、高精度除法

五、高精度取模

六、高精度階乘

七、高精度冪

八、高精度GCD

九、高精度進位制轉換

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