數值分析-線性方程組的迭代解法

阿新 • • 發佈：2019-01-01

迭代法

對於AX = b

可將方程組進行改寫

得到X = BX + f

迭代法就是通過設定初值X₀

然後通過X_k+1 = BX_k + f不斷迭代

迭代一定次數後，X_n 可近似的看做方程組的解

迭代法的收斂性

　　設X*為方程組的準確解

　　ε_k = || X_k - X* ||

　　可以看到ε_k+1= B * ε_k

　　迭代法收斂的充要條件是B的譜半徑<1

　　B的譜半徑為B最小的那個特徵值

收斂階

　　收斂階就是收斂速度

　　平均收斂速度為-ln || B^k ||^1/k

　　漸進收斂速度為 R(B) = -ln (ρ(B))

　　ρ(B)表示B的譜半徑

　　若要求|| ε_k || / || ε₀ || <= σ

　　那麼k >= -ln(σ) / R(B)

不同的收斂法就是獲取B的方式有所不同

雅克比迭代法

　　將矩陣A分為

　　D:對角線上的元素

　　L:對角線之下的元素的相反數

　　U:對角線之上的元素的相反數

　　A = D - L - U

　　DX_k+1= (L + U)X_k + b

高斯-賽德爾迭代法

　　(D-L)X_k+1 = UX_k

+ b

　　高斯賽德爾迭代法是雅克比迭代法的一種改進

　　減少了計算量

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