[數值分析]不動點迭代法

阿新 • • 發佈：2018-12-09

$1.$ 不動點與不動點迭代法

對於方程

\begin{matrix} (1.1) & f (x) = 0 \end{matrix}

改寫成

\begin{matrix} (1.2) & x = φ (x) \end{matrix}

若要求

x^{*}

滿足

f (x^{*}) = 0

，則

x^{*} = φ (x^{*})

;反之亦然。則稱

x^{*}

為函式

φ (x)

的一個不動點。選擇一個初始近似值

x_{0}

，將它代入

(1.2)

式子右端，即可求得

x_{1} = φ (x_{0})

可以如此反覆迭代計算得到

\begin{matrix} (1.3) & x_{k + 1} = φ (x_{k}), k = 0, 1, . . . . \end{matrix}

φ (x)

稱為迭代函式，如果對於任何

x_{0} \in [a, b]

，由

(1.3)

式子得到的序列

{\begin{matrix} x_{k} \end{matrix}}

有極限

lim_{k \to \infty} x_{k} = x^{*}

則稱迭代方程

(1.3)

收斂，且

x^{*} = φ (x^{*})

為

φ (x)

的不動點，故稱

(1.3)

為不動點迭代法。

更簡單的說不動點也可看成 $y = φ (x) 与 y = x$ 的交點。 如圖這裡寫圖片描述

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