遞迴程式設計方法及例項
遞迴程式設計方法及例項
例項1：一個人趕著鴨子去每個村莊賣，每經過一個村子賣去所趕鴨子的一半又一隻。這樣他經過了七個村子後還剩兩隻鴨子，問他出發時共趕多少隻鴨子？經過每個村子賣出多少隻鴨子？
//賣鴨子 #include<stdio.h> int num(int sum,int day); int main() { int s=num(2,8); //第七天還剩餘鴨子2只 printf("鴨子總數為%d只\n\n",s); for(int day=1;day<=7;day++) //輸出每天賣出的鴨子數 { printf("第%d天賣出%d只\n",day,s/2+1); s=s/2-1; } return 0; } int num(int sum,int day) { if(day==1) return sum; else return num((sum+1)*2,day-1); //遞迴計算鴨子數 return 0; }
例項2：角谷定理。輸入一個自然數，若為偶數，則把它除以2，若為奇數，則把它乘以3加1。經過如此有限次運算後，總可以得到自然數值1。求經過多少次可得到自然數1。
如：輸入22，
輸出 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 1
//角谷定理 #include<stdio.h> int step; int calculate(int a); int main() { int a; //輸入的自然數a printf("請輸入一個自然數:"); scanf("%d",&a); calculate(a); return 0; } int calculate(int a) { printf("%6d",a); if(a==1) printf("\nStep is %d\n",step+1); else { if(a%2==0) //輸入的自然數為偶數 { a=a/2; step++; //每計算一次,step加1 calculate(a); //遞迴呼叫 } else if(a%2!=0) //輸入的自然數為奇數 { a=a*3+1; step++; calculate(a); } } return 0; }if(a%2==0) //輸入的自然數為偶數 { a=a/2; step++; //每計算一次,step加1 calculate(a); //遞迴呼叫 } else if(a%2!=0) //輸入的自然數為奇數 { a=a*3+1; step++; calculate(a); } } return 0; }
例項三：電話號碼對應的字元組合：在電話或者手機上，一個數字如2對應著字母ABC，7對應著PQRS。那麼數字串27所對應的字元的可能組合就有3*4=12種（如AP，BR等）。現在輸入一個3到11位長的電話號碼，請打印出這個電話號碼所對應的字元的所有可能組合和組合數。
//電話號碼對應字元組合
//假設此程式中,0和1對應的英文字母分別為'*','#'
//做出此假設的原因是因為0和1沒有對應的英文字母
#include<stdio.h>
#define M 12
#define N 30
int a[M]; //a[M]儲存電話號碼每位上的數字
char b[28]={'*','#','A','B','C','D','E','F','G','H','I','J','K','L','M','N',
'O','P','Q','R','S','T','U','V','W','X','Y','Z'}; //b[M]儲存每個數字對應的不同的英文字母
char c[10][10] = { //用字元陣列儲存每個數字對應的不同英文字母
'*', '#', "ABC", "DEF",
"GHI", "JKL", "MNO",
"PQRS", "TUV", "WXYZ"};
int i,n;
int GroupNum(int x);
int main()
{
printf("請輸入電話號碼的總位數:");
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<n;i++)
{
printf("請輸入電話號碼的第%d位:",i+1);
scanf("%d",&a[i]);
}
i=0;
printf("此電話號碼對應的字串組合共有%d組\n",GroupNum(1));
return 0;
}
int GroupNum(int x) //求總共組合數
{
if(i==n)
return x;
else
{
if(a[i]==0 || a[i]==1)
{
x=1*x;
i++;
GroupNum(x); //遞迴呼叫
}
else if(a[i]==2 || a[i]==3 || a[i]==4 || a[i]==5 || a[i]==6 || a[i]==8 )
{
x=3*x;
i++;
GroupNum(x);
}
else
{
x=4*x;
i++;
GroupNum(x);
}
}
}
例項4：日本著名數學遊戲專家中村義作教授提出這樣一個問題：父親將2520個桔子分給六個兒子。分完 後父親說：“老大將分給你的桔子的1/8給老二；老二拿到後連同原先的桔子分1/7給老三；老三拿到後連同原先的桔子分1/6給老四；老四拿到後連同原先的桔子分1/5給老五；老五拿到後連同原先的桔子分1/4給老六；老六拿到後連同原先的桔子分1/3給老大”。結果大家手中的桔子正好一樣多。問六兄弟原來手中各有多少桔子？
//分桔子問題
#include<stdio.h>
// oldUNum為每個人原有桔子數，getNum為得到的桔子數,n為第幾個人
int orangeNum(int oldNum,int getNum,int n);
int main()
{
//老大原有240個桔子，得到210個
orangeNum(240,210,1);
return 0;
}
int orangeNum(int oldNum,int getNum, int n)
{
int nextGetNum,nextOldNum,m;
if(n > 6) //遞迴出口
return 0;
else
{
printf(" 第%d個人原有桔子%d\n",n,oldNum); //輸出原先橘子數
if(n == 1) //計算分給下一個人的橘子數
nextGetNum = oldNum/(9 - n);
else
nextGetNum = (oldNum+getNum)/(9-n);
nextOldNum = 2520/6* (8-n)/(7-n) - nextGetNum; //下一個人原來的橘子
m = n+1;
orangeNum(nextOldNum,nextGetNum,m);
}
return 0;
}
nextGetNum = oldNum/(9 - n);
else
nextGetNum = (oldNum+getNum)/(9-n);
nextOldNum = 2520/6* (8-n)/(7-n) - nextGetNum; //下一個人原來的橘子
m = n+1;
orangeNum(nextOldNum,nextGetNum,m);
}
return 0;
}
遞迴程式設計方法總結
————常見遞迴問題的分析與設計
1.賣鴨子問題：這是常見的遞迴函式問題，求得一個遞迴函式公式即可。設計函式int num( int sum,int day);其中sum引數返回鴨子的數量,day引數返回第幾天。編寫遞迴程式的關鍵為確定遞迴出口和遞迴體。本題遞迴出口為當day==1時，return sum;遞迴體為當day!=1時，return num((sum+1)*2,day-1);同時在主函式中輸出每天所賣的鴨子數目。
2.角谷定理：本題的設計思路比較簡單，仍然為一個遞迴函式問題。按照題意，輸入一個自然數，若為偶數，則把它除以2，若為奇數，則把它乘以3加1。經過如此有限次運算後，總可以得到自然數值1。得到遞迴結束出口為a==1;return總步數。遞迴體為當a==偶數時，自身除以二，並累加步數，返回calculate函式。當a為奇數時，自身乘三加一，並累加步數，返回calculate.
3.電話號碼對應的字元組合：首先清楚2,3,4,5,6,8六個數字對應三個英文不同的字母，8,9三個數字對應4個不同的英文字母。由於數字1和0並沒有對應的英文字母，所以假設0和1分別對應’*’,’#’,這種假設並不影響最後遞迴演算法的設計。還可以增強程式的健壯性。
計算組合數：需要統計電話號碼有幾個數字，且每個數字對應幾個英文字母。把每個數字對應的英文字母個數乘起來即為組合數。
計算具體的組合：需要統計具體哪幾個數字，每個數字具體對應的英文字母是什麼。逐一進行組合即可。
4.中村義作教授分桔子問題：這是一個環狀互相關聯的問題，想到應該使用遞迴來求解。首先應該分析得到已知和隱含條件。
最後桔子數目相等，則每人為420個。同時老大的身份最特殊，其餘的人都是先得到再給出桔子，而老大是先給出後得到，並且最後為420個，由老六分給他210個桔子，則老大原來有240個桔子，老大原先有240個桔子，分出210個桔子，問題的突破口就找到了。設計函式orangeNum(oldNum,getNum,n);三個引數分別為原有桔子數，得到桔子數，和第幾個人。將240,210,1三個引數傳入後，就開始了遞迴函式的呼叫，當n>6時，遞迴呼叫結束。
遞迴問題總結：遞迴是程式直接或者間接呼叫自身的過程，遞迴模型由遞迴出口和遞迴體兩部分組成，分析問題時主要要抽象出遞迴出口和遞迴體。遞迴問題一般分為兩大類：一類是比較簡單的數學上的遞迴函式，要求算得一個函式值，只需要將遞迴函式翻譯出來即可。第二類為問題為一些實際的問題，沒有統一的規律可循，解決問題的關鍵為充分的理解問題，發現問題中的已知和隱含條件。根據邏輯關係分析此問題為什麼為一個遞迴問題，並由此得到遞迴出口和遞迴遞迴體，從而使問題得到解決。這類問題都比較複雜，需要進行大量的練習才能建立這種思維方式。