【歐幾里德的遊戲】
阿新 • • 發佈:2019-01-01
這道題好神仙啊
我們推一下\(SG\)函式
顯然答案就是\(SG(n,m)\),\(SG(n,m)=0\)則先手敗,否則先手勝
首先幾個非常明顯的地方\(SG(n,0)=0\),這是顯然的,上來就面對了必敗狀態
之後看看\(SG\)是如何轉移的
\[SG(n,m)=mex\{SG(n-m,m,SG(n-2*m,m)...SG(m,n\%m))\}\]
\(mex\)是基於集合的操作,\(mex(S)=\{min(x)\in N|x\notin S\}\),也就是不屬於集合\(S\)的最小自然數
非常顯然的是
\[SG(n-m,m)=mex\{SG(n-2*m,m),SG(n-3*m,m)...SG(m,n\%m)\}\]
之後會驚奇的發現好像我們知道了\(SG(m,n\%m)\)就可以推所有了
分類討論一波
如果\(SG(m,n\%m)=1\),那麼由於\(SG(m,n\%m+m)=mex\{SG(m,n\%m)\}\),所以這個時候\(SG(m,n\%m+m)=0\),於是\(SG(n,m)=1\)
如果\(SG(m,n\%m)=0\),那麼\(SG(m,n\%m+m)=1\),所以非常顯然\(SG(n,m)=1\)
但是這一切的前提就是\(SG(m,n\%m+m)\)存在,如果\(m<=2*n\),那麼\(SG(n,m)\)就直接等於\(SG(m,n\%m)\)了,也就是\(SG(n,m)=SG(m,n\%m)\bigoplus1\)
於是一個類似於\(gcd\)的迭代就好了
程式碼
#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #define LL long long #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b)) #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b)) inline LL read() { char c=getchar(); int x=0; while(c<'0'||c>'9') c=getchar(); while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar(); return x; } int T; LL n,m; inline int SG(LL n,LL m) { if(!m) return 0; if(n>=m*2) return 1; return 1^SG(m,n%m); } int main() { T=read(); while(T--) { n=read(),m=read(); if(SG(max(n,m),min(n,m))) puts("Stan wins"); else puts("Ollie wins"); } return 0; }