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題意描述

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

青蛙跳臺階問題，一隻青蛙要跳上n層高的臺階，一次能跳一級，也可以跳兩級，請問這隻青蛙有多少種跳上這個n層高臺階的方法？

思路分析：

這個問題有三種方法來解決，並在下面給出三處方法的python實現

方法1:遞迴

設青蛙跳上n級臺階有f(n)種方法，把這n種方法分為兩大類，第一種最後一次跳了一級臺階，這類方法共有f(n-1)種，第二種最後一次跳了兩級臺階，這種方法共有f(n-2)種，則得出遞推公式f(n)=f(n-1)+f(n-2),顯然，f(1)=1,f(2)=2，遞推公式如下：

* 這種方法雖然程式碼簡單，但效率低，會超出時間上限*
程式碼實現如下

class Solution:
    # @param {integer} n
    # @return {integer}
    def climbStairs(self, n):
        if n==1:
            return
 
 1
        elif n==2:
            return 2
        else:
            return self.climbStairs(n-1)+self.climbStairs(n-2)

方法2: 用迴圈來代替遞迴

這種方法的原理仍然基於上面的公式，但是用迴圈代替了遞迴，比上面的程式碼效率上有較大的提升，可以AC

程式碼實現如下：

class Solution:
    # @param {integer} n
    # @return {integer}
    def climbStairs(self, n):
        if
 
 n==1 or n==2:
            return n
        a=1;b=2;c=3
        for i in range(3,n+1):
            c=a+b;a=b;b=c
        return c

方法三：建立簡單數學模型，利用組合數公式

這種方法我比較喜歡

設青蛙跳上這n級臺階一共跳了z次，其中有x次是一次跳了兩級，y次是一次跳了一級，則有z=x+y ,2x+y=n,對一個固定的x，利用組合可求出跳上這n級臺階的方法共有
種方法
又因為 x在區間[0,n/2]內，所以我們只需要遍歷這個區間內所有的整數，求出每個x對應的組合數累加到最後的結果即可

python程式碼實現如下：

class Solution:
    # @param {integer} n
    # @return {integer}
    def climbStairs(self, n):
        def fact(n):
            result=1
            for i in range(1,n+1):
                result*=i
            return result
        total=0
        for i in range(n/2+1):
            total+=fact(i+n-2*i)/fact(i)/fact(n-2*i)
        return total