漫步數理統計二十四——伽瑪、卡方與貝塔分佈

本篇博文我們講介紹伽瑪(Γ)，卡方(χ2)與貝塔(β)分佈。在高等微積分中已經證明過，對於α>0，積分

∫∞0yα−1e−ydy

存在且積分值為正數，這個積分稱為α的伽瑪函式，寫成

Γ(α)=∫∞0yα−1e−ydy

如果α=1，顯然

Γ(1)=∫∞0e−ydy=1

如果α>1，用分部積分法可得

Γ(α)=(α−1)∫∞0yα−2e−ydy=(α−1)Γ(α−1)

因此如果α是比1大的正整數，那麼

Γ(α)=(α−1)(α−2)⋯(3)(2)(1)Γ(1)=(α−1)!

因為Γ(1)=1，這表明我們可以取0!=1。

我們用積分形式定義了Γ(α)，現在我們引入新變數y=x/β

，其中β>0，那麼

Γ(α)=∫∞0(xβ)α−1ex/β(1β)dx

或者等價的

1=∫∞01Γ(α)βαxα−1e−x/βdx

因為α>0,β>0,Γ(α)>0，所以

f(x)={1Γ(α)βαxα−1e−x/β00<x<∞elsewhere

是連續型隨機變數的pdf，有這種pdf形式的隨機變數X滿足引數為α,β的伽瑪分佈，寫作X滿足Γ(α,β)分佈。

注1：伽瑪分佈是等待時間的概率模型；例如在壽命測試中，直到死亡的等待時間是用伽瑪分佈建模的隨機變數。為了理解這個，假設泊松假定以及區間長度w是時間區間，特別地令隨機變數W是得到k變化量所需要的時間，其中k是固定的正整數，那麼W

的cdf為

G(w)=P(W≤w)=1−P(W>w)

然而對於w>0，事件W>w等價於時間區間w內少於k變化量的概率，即如果隨機變數X是區間

漫步數理統計二十四——伽瑪、卡方與貝塔分佈

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本片博文介紹多元正態分佈，我們以n維隨機變數為主，但給出n=2時二元情況的一些例項。與上篇文章一樣，我們首先介紹標準情況然後擴充套件到一般情況，當然這裡會用到向量與矩陣符號。考慮隨機向量Z=(Z1,…,Zn)′，其中Z1,…,Zn是獨立同分布的N(0,1)隨

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本篇博文定義兩個非常重要的分佈，它們在一些統計推斷問題中非常有用，也就是t分佈與F分佈。令W表示滿足N(0,1)分佈的隨機變數；V表示滿足χ2(r)分佈的隨機變數；且W,V獨立，那麼W,V的聯合pdf，表示為h(w,v)，就是W的pdf與V的pdf乘積，或者

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漫步數理統計二十三——泊松分佈

回憶一下，對於m的所有值，級數 1+m+m22!+m33!+⋯=∑x=0∞mxx! 收斂到em。考慮函式 p(x)={mxe−mx!0x=0,1,2,…elsewhere 其中m>0。因為m>0，所以p(x)≥0且 ∑xp(x)=∑x=0∞

漫步數理統計三十——依概率收斂

本篇博文我們將正式地陳述一系列隨機變數靠近某個隨機變數。定義1：{Xn}是一系列隨機變數，X是定義在樣本空間上的隨機變數。我們說Xn依概率收斂到X，如果對於ϵ>0 limn→∞P[|Xn−X|≥ϵ]=0 或者等價的 limn→∞P[|Xn−X|&

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