漫步數理統計三十——依概率收斂

本篇博文我們將正式地陳述一系列隨機變數靠近某個隨機變數。

定義1：{Xn}是一系列隨機變數，X是定義在樣本空間上的隨機變數。我們說Xn依概率收斂到X，如果對於ϵ>0

limn→∞P[|Xn−X|≥ϵ]=0

或者等價的

limn→∞P[|Xn−X|<ϵ]=1

如果成立，我們一般寫成

Xn→PX

如果Xn→PX，我們常說Xn−X的差收斂到0。極限隨機變數X經常是一個常數；例如X是一個退化的隨機變數。

說明依概率收斂的一種方法是用切比雪夫定理，具體會在下面的證明中給出，為了強調我們是一系列隨機變數，我們在隨機變數上給出下標，像X¯寫成X¯n。

定理1：(弱大數定理){Xn}是一系列獨立同分布的隨機變數，均值為μ

，方差為σ2<∞，X¯n=n−1∑ni=1Xi，那麼

X¯n→Pμ

證明：回憶一下X¯n的均值與方差分別為μ,σ2/n，因此根據切比雪夫定理，對於任意的ϵ>0

P[|X¯−μ|≥ϵ]=P[|X¯−μ|]≥(ϵn‾‾√/σ)(σ/n‾‾√)≤σ2nϵ2→0

這個定理說明，當n取向∞時，X¯分佈的所有質量收斂到μ。也就時候對於大的n，X¯接近μ，但是多接近呢？例如如果我們用X¯n估計μ，那麼估計誤差是多少？這個問題留到下篇博文講解。

還有一個強大數定理，它弱化了定理1的假設：隨機變數Xi獨立且都有有限的均值μ，因此強大數定理是一階矩定理，而弱大數定理需要二階矩存在。

還有些關於依概率收斂的定理，我們在後面會用到，首先是兩個關於依概率收斂對線性封閉的定理。

定理2：假設Xn→PX,Yn→PY，那麼Xn+Yn→PX+Y。

證明：

漫步數理統計三十——依概率收斂

本篇博文我們將正式地陳述一系列隨機變數靠近某個隨機變數。定義1：{Xn}是一系列隨機變數，X是定義在樣本空間上的隨機變數。我們說Xn依概率收斂到X，如果對於ϵ>0 limn→∞P[|Xn−X|≥ϵ]=0 或者等價的 limn→∞P[|Xn−X|&

漫步數理統計三十一——依分佈收斂

上篇博文我們介紹了依概率收斂的概念，利用著概念我們可以說統計量收斂到一個引數，而且在許多情況下即便不知道統計量的分佈函式也能說明收斂。但是統計量有多接近估計量呢？本篇博文講的收斂就回答了這個問題。定義1：(依分佈收斂){Xn}是一系列隨機變數，X是隨機變數。

漫步數理統計二十六——多元正態分佈

本片博文介紹多元正態分佈，我們以n維隨機變數為主，但給出n=2時二元情況的一些例項。與上篇文章一樣，我們首先介紹標準情況然後擴充套件到一般情況，當然這裡會用到向量與矩陣符號。考慮隨機向量Z=(Z1,…,Zn)′，其中Z1,…,Zn是獨立同分布的N(0,1)隨

漫步數理統計二十四——伽瑪、卡方與貝塔分佈

本篇博文我們講介紹伽瑪(Γ)，卡方(χ2)與貝塔(β)分佈。在高等微積分中已經證明過，對於α>0，積分 ∫∞0yα−1e−ydy 存在且積分值為正數，這個積分稱為α的伽瑪函式，寫成 Γ(α)=∫∞0yα−1e−ydy 如果α=1，顯然 Γ(1)=

漫步數理統計二十七——t與F分佈

本篇博文定義兩個非常重要的分佈，它們在一些統計推斷問題中非常有用，也就是t分佈與F分佈。令W表示滿足N(0,1)分佈的隨機變數；V表示滿足χ2(r)分佈的隨機變數；且W,V獨立，那麼W,V的聯合pdf，表示為h(w,v)，就是W的pdf與V的pdf乘積，或者

漫步數理統計二十三——泊松分佈

回憶一下，對於m的所有值，級數 1+m+m22!+m33!+⋯=∑x=0∞mxx! 收斂到em。考慮函式 p(x)={mxe−mx!0x=0,1,2,…elsewhere 其中m>0。因為m>0，所以p(x)≥0且 ∑xp(x)=∑x=0∞

概率與數理統計學習總結三--條件概率、全概率、貝葉斯、離散型隨機變數

老師課堂總結，請勿轉載條件概率設試驗E的樣本空間為S, A, B是事件, 要考慮在A已經發生的條件下B發生的概率, 這就是條件概率問題. 1. 定義: 設A, B是兩個事件, 且P(A)>0, 稱為在事件A發生的條件下事件B發生的條件概率條件概率滿

深度學習數學基礎介紹（二）概率與數理統計

特征數字特征抽樣分布第5章最大中心 3.4 獨立知識第1章隨機事件與概率§1.1 隨機事件§1.2 隨機事件的概率§1.3 古典概型與幾何概型§1.4 條件概率§1.5 事件的獨立性第2章隨機變量的分布與數字特征§2.1 隨機變量及其分布§2.2 隨機變

概率論與數理統計筆記第二章隨機變量及其概率分布

href 時間無法 lam 中文 per set sub pub 概率論與數理統計筆記第二章隨機變量及其概率分布概率論與數理統計筆記（計算機專業）作者： CATPUB 新浪微博：@catpub 課程：中國大學MOOC浙江大學概率論與數理統計部分平臺可能無法顯示公

Spark2.3（三十四）：Spark Structured Streaming之withWaterMark和windows視窗是否可以實現最近一小時統計

WaterMark除了可以限定來遲資料範圍，是否可以實現最近一小時統計？ WaterMark目的用來限定引數計算資料的範圍：比如當前計算資料內max timestamp是12::00，waterMark限定資料分為是60 minutes，那麼如果此時輸入11:00之前的資料就會被捨棄不參與統計，視為來遲範圍

概率論與數理統計（一）—— 隨機事件與概率

隨機試驗與事件隨機試驗：為觀察隨機現象而進行的實驗稱為隨機試驗，隨機試驗應滿足以下3個特徵：可重複性：可在相同的條件下重複進行結果可知：所有可能的結果不止一個，但是知道有哪些結果不可預測：試驗之前無法知道會出現哪個結果樣本空間：隨機事件所有可能的集合組成樣本空間，用Ω表示

javaSE (三十四）File類和遞迴練習（統計資料夾大小、拷貝資料夾、層級列印資料夾、斐波拉契數列、獲取1000階乘全部0和尾部0數目、約瑟夫環）

1、統計資料夾大小：思路：套用之前已經做過的，鍵入一個路徑，若有效則封裝成File類初始化計數器len，若資料夾下是檔案，則記錄檔案.length() 若資料夾下是資料夾，遞迴輸出len 注：遞迴也可以刪除資料夾，但是一定要先刪除裡

數理統計與資料分析第三版習題第3章第12題

以下解題過程都是由網際網路收集而來，並不保證正確，如有疑問可以留言討論題目令 f(x,y)=c(x2−y2)e−x,0≤x<∞,−x≤y<xf(x,y)=c(x^{2}-y^{2})e^{-x} ,0\leq x &lt

數理統計與資料分析第三版習題第3章第15題

以下解題過程都是由網際網路收集而來，並不保證正確，如有疑問可以留言討論題目假定X和Y具有聯合密度函式 f(x,y)=c1−x2−y2,x2+y2≤1f_(x,y)=c\sqrt{1-x^2-y^2}, \quad x^2+y^2\leq1f(x,y)=c1

數理統計與資料分析第三版習題第3章第16題

fX2(x2)=∫x21fX1X2(x1x2)dx1=∫x211x1dx1=[lnx1]x21=ln1x20≤x2≤x1\begin{aligned} f_{X_{2}}(x_{2})&=\int_{x_{2}}^{1}f_{X_{1}X_{2}}(x_{1}x_{2}) dx_{1}\\ &

數理統計與資料分析第三版習題第3章第17題

以下解題過程都是由網際網路收集而來，並不保證正確，如有疑問可以留言討論題目令（X，Y）是隨機點，均勻地選自區域 R={(x,y):∣x∣+∣y∣≤1}R=\left\{(x,y):|x|+|y|\leq1 \right\}R={(x,y):∣x∣+∣y∣≤1

數理統計與資料分析第三版習題第3章第19題

P(T1>T2)=∬t1>t2f(t1,t2)dt2dt1=∫0∞∫0t1αe−αt1∗βe−βt2dt2dt1=∫0∞αe−αt1∗β∗1−β[e−βy]0t1dt2=∫0∞(−αe−αt1e−βx+α−αt1)dt1=∫0∞(α−αt1)dt1−∫0∞αe−αt1e−βxdt1

數理統計與資料分析第三版習題第3章第20題

以下解題過程都是由網際網路收集或自己計算而來，並不保證正確，如有疑問可以留言討論題目假設通訊網路中的節點具有這樣的性質，如果兩個資訊包到達的時間間隔小於τ, 它們就會發生衝突，必須重新傳送，如果兩個包到達的時間相互獨立，且服務[0,T]上的均勻分佈 a.問它

數理統計與資料分析第三版習題第3章第22題

P{N(t1−t0)=k∣N(t2−t0)=n}=P{N(t1−t0)=k,N(t2−t0)=n}P{N(t2−t0)=n}=P{N(t1−t0)=k,N(t2−t1)=n−k}P{N(t2−t0)=n}=e−λ(t1−t0)⋅(λ(t−t0))kk!⋅e−λ(t2−t1)⋅(−λ(t2−t1))n−k(n−

白話空間統計二十七：統計學七支柱之空間統計版本（三）資訊的數量（2）

前文繼續，書接上一回。從大資料的角度來說，資料獲取得越多，那麼越接近真相——甚至在《大資料時代》一書中，還出現了“全量資料分析”這一概念。理論上是沒錯，就像詢問我們出行的時候，需要多快速度的交通工具一樣？回答肯定是“越快越好”，最好是破開空間，瞬間移動……那麼這就是最快的

漫步數理統計三十——依概率收斂

相關推薦