二叉樹與圖
阿新 • • 發佈：2019-01-02
******************樹與二叉樹******************
【1】樹的概念
樹（樹）是n（n≥0）個節點的有限集合T，
它滿足兩個條件：
有且僅有一個特定的稱為根（Root）的節點;
其餘的節點可以分為m（m≥0）個互不相交的有限集合T1，T2，......，Tm，其中每一個集合又是一棵樹，並稱為其根子樹（Subtree）。
【2】度
一個節點的子樹的個數稱為節點的度數，一棵樹的度數是指該樹中節點的最大度數。
度數為零的節點稱為樹葉或終端節點，度數不為零的節點稱為分支節點，除根節點外的分支節點稱為內部節點。
一個節點的子樹之根節點稱為該節點的子節點，該節點稱為它們的父節點，同一節點的各個子節點之間稱為兄弟節點
【3】路徑
一個節點系列k1，k2，......，ki，ki + 1，......，kj，並滿足ki是ki + 1的父節點，就稱為一條從k1到KJ 路徑，路徑的長度為J-1，即路徑中的邊數。路徑中前面的節點是後面節點的祖先，後面節點是前面節點的子孫。
【4】高度（深度）
節點的層數等於父節點的層數加一，根節點的層數定義為一。樹中節點層數的最大值稱為該樹的高度或深度。
【5】若樹中每個節點的各個子樹的排列為從左到右，不能交換，即兄弟之間是有序的，則該樹稱為有序樹。一般的樹是有序樹。
【6】m（m≥0）棵互不相交的樹的集合稱為森林。樹去掉根節點就成為森林，森林加上一個新的根節點就成為樹。
【7】樹的邏輯結構
樹中任何節點都可以有零個或多個直接後繼節點（子節點），但至多隻有一個直接前趨節點（父節點），根節點沒有前趨節點，葉節點沒有後繼節點。
【8】二叉樹
二叉樹（二叉樹）是n（n≥0）個節點的有限集合，
它或者是空集（n = 0），或者是由一個根節點以及兩棵
互不相交的，分別稱為左子樹和和右子樹的二叉樹組成。
二叉樹與普通有序樹不同，二叉樹嚴格區分左孩子和右
孩子，即使只有一個子節點也要區分左右。
【9】二叉樹的性質
二叉樹第i（i≥1）層上的節點最多為2〜第（i-1）個。
深度為K（k≥1）的二叉樹最多有2〜K-1個節點。
在任意一棵二叉樹中，樹葉的數目比度數為2的節點的資料多一。
總節點數為各種節點之和：n = n0 + n1 + n2
總節點數為所有子節點數加一：n = n1 + 2 * n2 + 1
故得：n0 = n2 + 1;
滿二叉樹：深度為K（k≥1）時有2K-1個節點的二叉樹。
全二叉樹：只有最下面兩層有度數小於2的節點，最下面御姐一層的葉節點集中在最左邊的若干位置上
【10二叉樹】的儲存
當2 *i≤n時，有左孩子，其編號為2 * i，否則沒有左孩子，本身是葉節點;
當2 * i +1≤n時，有右孩子，其編號為2 * i + 1，否則沒有右孩子;
【11】二叉樹的遍歷
先序遍歷：先訪問樹根，再訪問左子樹，最後訪問右子樹;根左右
中序遍歷：先訪問左子樹，再訪問樹根，最後訪問右子樹;根左向左向右
後序遍歷：先訪問左子樹，再訪問右子樹，最後訪問樹根;左右根
******************圖*********************
【1】定義
圖（Graph）是一種非線性資料結構，資料之間是多對多的關係
【2】有向圖（Digraph）
設Vi，Vj為圖中的兩個頂點，表示：<Vi，Vj>，Vi為弧尾，Vj為弧頭部
【3】無向圖（Undigraph）
設Vi，Vj為圖中的兩個頂點，表示:( Vi，Vj）
【4】稀疏圖（Sparse Graph）和稠密圖（Dense Graph）
弧或邊的條數量很少的圖稱為稀疏圖，反之稱為稠密圖。
【5】網（Network）
若在圖的關係<Vi，Vj>或（Vi，Vj）上附加一個值w：
【6】頂點的度（degree）
個鄰接點VI中，若六未被訪問，則訪問之，再搜尋六一個的
鄰接點（深度優先）......。若某頂點的鄰接點全部訪問完畢，
則回溯（回溯）到它的上一頂點，再然後從此頂點
漢語中類似的按深度優先的方法搜尋下去，......，能直到訪問的頂點都訪
問完畢為止。
【1】樹的概念
樹（樹）是n（n≥0）個節點的有限集合T，
它滿足兩個條件：
有且僅有一個特定的稱為根（Root）的節點;
其餘的節點可以分為m（m≥0）個互不相交的有限集合T1，T2，......，Tm，其中每一個集合又是一棵樹，並稱為其根子樹（Subtree）。
【2】度
一個節點的子樹的個數稱為節點的度數，一棵樹的度數是指該樹中節點的最大度數。
度數為零的節點稱為樹葉或終端節點，度數不為零的節點稱為分支節點，除根節點外的分支節點稱為內部節點。
一個節點的子樹之根節點稱為該節點的子節點，該節點稱為它們的父節點，同一節點的各個子節點之間稱為兄弟節點
【3】路徑
一個節點系列k1，k2，......，ki，ki + 1，......，kj，並滿足ki是ki + 1的父節點，就稱為一條從k1到KJ 路徑，路徑的長度為J-1，即路徑中的邊數。路徑中前面的節點是後面節點的祖先，後面節點是前面節點的子孫。
【4】高度（深度）
節點的層數等於父節點的層數加一，根節點的層數定義為一。樹中節點層數的最大值稱為該樹的高度或深度。
【5】若樹中每個節點的各個子樹的排列為從左到右，不能交換，即兄弟之間是有序的，則該樹稱為有序樹。一般的樹是有序樹。
【6】m（m≥0）棵互不相交的樹的集合稱為森林。樹去掉根節點就成為森林，森林加上一個新的根節點就成為樹。
【7】樹的邏輯結構
樹中任何節點都可以有零個或多個直接後繼節點（子節點），但至多隻有一個直接前趨節點（父節點），根節點沒有前趨節點，葉節點沒有後繼節點。
【8】二叉樹
二叉樹（二叉樹）是n（n≥0）個節點的有限集合，
它或者是空集（n = 0），或者是由一個根節點以及兩棵
互不相交的，分別稱為左子樹和和右子樹的二叉樹組成。
二叉樹與普通有序樹不同，二叉樹嚴格區分左孩子和右
孩子，即使只有一個子節點也要區分左右。
【9】二叉樹的性質
二叉樹第i（i≥1）層上的節點最多為2〜第（i-1）個。
深度為K（k≥1）的二叉樹最多有2〜K-1個節點。
在任意一棵二叉樹中，樹葉的數目比度數為2的節點的資料多一。
總節點數為各種節點之和：n = n0 + n1 + n2
總節點數為所有子節點數加一：n = n1 + 2 * n2 + 1
故得：n0 = n2 + 1;
滿二叉樹：深度為K（k≥1）時有2K-1個節點的二叉樹。
全二叉樹：只有最下面兩層有度數小於2的節點，最下面御姐一層的葉節點集中在最左邊的若干位置上
【10二叉樹】的儲存
當2 *i≤n時，有左孩子，其編號為2 * i，否則沒有左孩子，本身是葉節點;
當2 * i +1≤n時，有右孩子，其編號為2 * i + 1，否則沒有右孩子;
【11】二叉樹的遍歷
先序遍歷：先訪問樹根，再訪問左子樹，最後訪問右子樹;根左右
中序遍歷：先訪問左子樹，再訪問樹根，最後訪問右子樹;根左向左向右
後序遍歷：先訪問左子樹，再訪問右子樹，最後訪問樹根;左右根
******************圖*********************
【1】定義
圖（Graph）是一種非線性資料結構，資料之間是多對多的關係
【2】有向圖（Digraph）
設Vi，Vj為圖中的兩個頂點，表示：<Vi，Vj>，Vi為弧尾，Vj為弧頭部
【3】無向圖（Undigraph）
設Vi，Vj為圖中的兩個頂點，表示:( Vi，Vj）
【4】稀疏圖（Sparse Graph）和稠密圖（Dense Graph）
弧或邊的條數量很少的圖稱為稀疏圖，反之稱為稠密圖。
【5】網（Network）
若在圖的關係<Vi，Vj>或（Vi，Vj）上附加一個值w：
【6】頂點的度（degree）
無向圖（無向圖）：某一點的度的英文指與之相直接關聯的節點的個數有向圖產品（有向圖）;某一點的度=出度+入度
【7】路徑）若從頂點V出發，經過某些頂點能到達另一頂點V '則稱V與V'之間存在一條路徑。若路徑（Vi1的的，Vi2的的，...... ，VIM）中頂點不重複出現，則稱其為簡單路徑;若路徑中只有第一頂點Vi1與最後一個頂點的Vim相同，則稱其為簡單迴路或簡單環（Cycle）。
【8】深度優先搜尋（深度優先搜尋，簡稱DFS）
類似樹的先根遍歷。設初始時，圖中各頂點均未被訪問，
從圖中某頂點（設為V0）出發，訪問V0，然後搜尋V0一的個鄰接點VI中，若六未被訪問，則訪問之，再搜尋六一個的
鄰接點（深度優先）......。若某頂點的鄰接點全部訪問完畢，
則回溯（回溯）到它的上一頂點，再然後從此頂點
漢語中類似的按深度優先的方法搜尋下去，......，能直到訪問的頂點都訪
問完畢為止。