--總覺得網上其他部落格上寫的都不太適合自己理解，百般翻閱書籍理解了一下，供自己日後複習之用。
本文的程式整理可到此處下載：http://download.csdn.net/download/sillykog/10123483

    

     
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• 用過去的觀測值來估計當前或者將來的訊號稱為預測
• 用當前和過去的觀測值來估計當前訊號稱為濾波
• 用過去的觀測值估計過去的訊號成為平滑或內插

維納濾波

1.要求

• 輸入過程廣義平穩
• 輸入過程的統計特性已知

2.效果

• 當訊號和干擾以及隨機噪聲同時輸入該濾波器時，在輸出端將訊號儘可能精確表現出來
• 維納濾波根據全部過去觀測值和當前觀測值來估計訊號的當前值，解形式是傳遞函式或單位脈衝響應，說白了就是一個IIR無限單位脈衝濾波器

3.原理

• 定義誤差為觀測值減去估計值
  e(n)=s(n)−s^(n)” role=”presentation” style=”position: relative;”>e(n)=s(n)−s^(n)e(n)=s(n)−s^(n)

• 目標函式為最小均方誤差

  
  min E[e2(n)]=min E[(s(n)−s^(n))2]” role=”presentation” style=”position: relative;”>min E[e2(n)]=min E[(s(n)−s^(n))2]min E[e2(n)]=min E[(s(n)−s^(n))2]

• 估計值計算如下
  s^(n)=x(n)∗h(n)=∑m=−∞+∞h(m)x(n−m)” role=”presentation” style=”position: relative;”>s

  ^(n)=x(n)∗h(n)=∑m=−∞+∞h(m)x(n−m)s^(n)=x(n)∗h(n)=∑m=−∞+∞h(m)x(n−m)

• 最小均方誤差可表示為
  E[e2(n)]=E[(s(n)−s^(n))2]=E[(s(n)−∑m=0+∞h(m)x(n−m))2]” role=”presentation” style=”position: relative;”>E[e2(n)]=E[(s(n)−s^(n))2]=E[(s(n)−∑m=0+∞h(m)x(n−m))2]E[e2(n)]=E[(s(n)−s^(n))2]=E[(s(n)−∑m=0+∞h(m)x(n−m))2]

• 對最小均方誤差求對衝擊響應的偏導並使其為零得到維納霍夫方程
  ∂E[e2(n)∂h(m)=2E[(s(n)−∑m=0+∞h(m)x(n−m))x(n−j)],j=0,1,2,...” role=”presentation” style=”position: relative;”>∂E[e2(n)∂h(m)=2E[(s(n)−∑m=0+∞h(m)x(n−m))x(n−j)],j=0,1,2,...∂E[e2(n)∂h(m)=2E[(s(n)−∑m=0+∞h(m)x(n−m))x(n−j)],j=0,1,2,...

• 此時求得的h(m)” role=”presentation” style=”position: relative;”>h(m)h(m)，並有
  Rxs(j)=E[x(n−j)s(n)]” role=”presentation” style=”position: relative;”>Rxs(j)=E[x(n−j)s(n)]Rxs(j)=E[x(n−j)s(n)]
  Rxx(j−m)=E[x(n−m)x(n−j)]” role=”presentation” style=”position: relative;”>Rxx(j−m)=E[x(n−m)x(n−j)]Rxx(j−m)=E[x(n−m)x(n−j)]

• 維納霍夫方程方程可化簡為
  Rxs(j)=∑m=0+∞hopt(m)Rxx(j−m),j=0,1,2,...” role=”presentation” style=”position: relative;”>Rxs(j)=∑m=0+∞hopt(m)Rxx(j−m),j=0,1,2,...Rxs(j)=∑m=0+∞hopt(m)Rxx(j−m),j=0,1,2,...

• 將方程展開我們可以得到更直觀的方程組如下
  j=0Rxs(0)=h(0)Rxx(0)+h(1)Rxx(−1)+...+h(N−1)Rxx(1−N)” role=”presentation” style=”position: relative;”>j=0Rxs(0)=h(0)Rxx(0)+h(1)Rxx(−1)+...+h(N−1)Rxx(1−N)j=0Rxs(0)=h(0)Rxx(0)+h(1)Rxx(−1)+...+h(N−1)Rxx(1−N)
  j=1Rxs(1)=h(0)Rxx(1)+h(1)Rxx(0)+...+h(N−1)Rxx(2−N)” role=”presentation” style=”position: relative;”>j=1Rxs(1)=h(0)Rxx(1)+h(1)Rxx(0)+...+h(N−1)Rxx(2−N)j=1Rxs(1)=h(0)Rxx(1)+h(1)Rxx(0)+...+h(N−1)Rxx(2−N)
  ........................................................................” role=”presentation” style=”position: relative;”>................................................................................................................................................
  j=N−1Rxs(N−1)=h(0)Rxx(N−1)+h(1)Rxx(N−2)+...+h(N−1)Rxx(0)” role=”presentation” style=”position: relative;”>j=N−1Rxs(N−1)=h(0)Rxx(N−1)+h(1)Rxx(N−2)+...+h(N−1)Rxx(0)j=N−1Rxs(N−1)=h(0)Rxx(N−1)+h(1)Rxx(N−2)+...+h(N−1)Rxx(0)

• 此處假設訊號與噪聲不相關
  Rxs(m)=E[x(n)s(n+m)]=E[s(n)s(n+m)+w(n)s(n+m)]=E[s(n)s(n+m)]=Rss(m)” role=”presentation” style=”position: relative;”>Rxs(m)=E[x(n)s(n+m)]=E[s(n)s(n+m)+w(n)s(n+m)]=E[s(n)s(n+m)]=Rss(m)Rxs(m)=E[x(n)s(n+m)]=E[s(n)s(n+m)+w(n)s(n+m)]=E[s(n)s(n+m)]=Rss(m)
  Rxx(m)=E[x(n)x(n+m)]=E[(s(n)+w(n))(s(n+m)w(n+m))]=Rss(m)+Rww(m)” role=”presentation” style=”position: relative;”>Rxx(m)=E[x(n)x(n+m)]=E[(s(n)+w(n))(s(n+m)w(n+m))]=Rss(m)+Rww(m)Rxx(m)=E[x(n)x(n+m)]=E[(s(n)+w(n))(s(n+m)w(n+m))]=Rss(m)+Rww(m)
• 則維納霍夫方程可化簡為
  Rss(j)=∑m=0+∞hopt(m)Rss(j−m)Rww(j−m),j=0,1,2,...” role=”presentation” style=”position: relative;”>Rss(j)=∑m=0+∞hopt(m)Rss(j−m)Rww(j−m),j=0,1,2,...Rss(j)=∑m=0+∞hopt(m)Rss(j−m)Rww(j−m),j=0,1,2,...

4.應用

Figure 1. 原始音訊序列 ” role=”presentation” style=”position: relative;”> Figure 2. 新增噪聲序列

Figure 3. 含噪音頻序列 ” role=”presentation” style=”position: relative;”> Figure 4. 維納濾波序列

• 濾波之後得到的結果是基於最小均方誤差的，所以也沒有辦法完全恢復原始序列，但總比含噪的序列效果好一些。該例程程式見文章開頭下載連線，本例是直接在時域上進行求解，但時域求解畢竟還是針對較短的序列，資料量一大就無法計算了。

• 這裡要強調的一點是許多網上流傳的維納濾波的程式均是轉換到頻域上求解，但由於維納濾波方程t>0的因果性約束，是無法直接頻譜相除求解的，必須要用頻譜分解法或者伯德-夏農的白化法。但以上兩種頻域解法都是針對特定功率譜函式的，所以需要對系統進行建模，應用起來其實也不方便的，具體內容還是請大家查閱相關資料會清楚一些。

• 由左邊序列訓練得到維納濾波的最佳衝擊脈衝序列，並對右邊序列進行濾波我們可以看到維納濾波的效果，維納濾波其實就是一個去相關的過程，對與期望訊號不相關的噪聲進行最大抑制其實就是維納濾波器的實際作用，但麻煩就麻煩在維納濾波器需要一組預訓練的期望訊號，這在實際當中基本上是做不到的，所以維納濾波始終不能被廣泛應用。

• 另一個方面的話，為什麼維納濾波要求考慮之前所有的觀測值呢，這是由於維納濾波器的一個時效性的問題，由1~N時刻的觀測資料計算得到的濾波器直接應用在N+1~2N時刻上，我們發現效果是極差的，因此還是要根據之前所有的觀測數值來考慮維納濾波器的衝擊序列h(n)

• 特別的再提到一點，即便只由部分觀測值計算得到的維納濾波器在時域上表現極差，但在頻域上還是差強人意的

• 關於二維影象的維納濾波也是非常有意思的，可以參考該篇博文
  http://blog.csdn.net/liyuefeilong/article/details/43307197

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卡爾曼濾波

1.要求

• 能用卡爾曼濾波的前提是這個系統是可觀測的。
• 相比於維納濾波，卡爾曼濾波可以適用於非平穩隨機過程，而且可以遞推實現

2.效果

• 卡爾曼濾波是在已知系統和量測的數學模型、量測噪聲統計特性及系統狀態初值的情況下，利用輸出訊號的量測資料和系統模型方程，實時獲得系統狀態變數和輸入訊號的最優估計值。它是一種線性、無偏、且誤差方差最小的隨機系統最優估計演算法。

3.原理

• 假設線性離散系統模型如下
  狀態方程xk=Φk,k−1xk−1+Γk,k−1ωk−1” role=”presentation” style=”position: relative;”>xk=Φk,k−1xk−1+Γk,k−1ωk−1xk=Φk,k−1xk−1+Γk,k−1ωk−1
  測量方程zk=Hkxk+νk” role=”presentation” style=”position: relative;”>zk=Hkxk+νkzk=Hkxk+νk

• 一般情況下我們假定
  E[ωk−1]=0,Rωω(k,j)=Qkδkj” role=”presentation” style=”position: relative;”>E[ωk−1]=0,Rωω(k,j)=QkδkjE[ωk−1]=0,Rωω(k,j)=Qkδkj
  E[νk]=0,R(k,j)=Qννδkj” role=”presentation” style=”position: relative;”>E[νk]=0,R(k,j)=

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