by QZQ

基本

定義

1. 若連續型隨機變數X的概率密度為f(x)=12π‾‾‾√σe−(x−μ)22σ2,−∞<x<∞
   其中μ,σ為常數，則稱X服從引數為μ,σ的正態分佈或高斯分佈，記為X∼N(μ,σ2).
2. 事實上，μ是X的期望,σ2是X的方差.

性質

1. 曲線關於x=μ對稱，這表明對於任意h>0有P{μ−h<X≤μ}=P{μ<X≤μ+h}
2. 當x=μ時取到最大值f(μ)=12π‾‾‾√σ
3. 在x=μ±σ處曲線有拐點。曲線以Ox軸為漸近線.

定性分析引數

1. 固定σ改變μ，圖形沿著Ox平移，不改變形狀.正態分佈的概率密度曲線的位置完全由引數μ
   所確定，μ稱為位置引數.
2. 固定μ改變σ，由於最大值f(μ)=12π√σ，可知當σ越小時圖形變得越尖，因而X落在μ的概率越大．

標準正態分佈

當μ=0,σ=1時稱隨機變數X服從標準正態分佈.其概率密度和分佈函式分別用φ(x),Φ(x)表示.

引理

若X∼N(μ,σ2),則Z=X−μσ∼N(0,1)

分位點

設X∼N(0,1),若zα滿足條件

相關的樣本分佈

χ2分佈

設X1,X2,...,Xn是來自總體N(0,1)的樣本,則稱統計量

性質

1. 可加性。χ21+χ22∼χ2(n1+n2)
2. 期望、方差E(χ2)=n,D(χ2)=2n

上分位點