有些東西，還是說清楚的好，比如超平面（hyperplane）這個東西。

• 直線、平面

在說超平面之前，先說說 Rn 空間中的直線和平面。給定 Rn 空間中的一點 p 和一非負向量 v⃗，滿足

i=tv⃗+p 的點 i 的集合稱為 Rn 空間中的一條直線。上式中 t 是一個標量，向量 v⃗ 決定了該直線的方向。如圖1所示：

圖1：line figure illustration

相對的，給定 Rn 空間中的一點 p和兩個線性無關的向量 v⃗,w⃗，滿足

i=tv⃗+sw⃗+p
的點 i 的集合稱為 Rn

空間中的一個平面。上式中 t,s 均是標量。如圖2所示：

圖2：plane figure illustration

更一般的，給定 Rn 空間中的一點 p和線性無關的向量 v1→,v2→,...,vk→，滿足

i=t1v1→+t2v2→+...+tkvk→+p 的點 i 的集合稱為 Rn 空間的一個k維仿射子空間（k-dimensional affine subspace）。因此，一條直線就是一個1維仿射子空間，一個平面就是一個2維仿射子空間。

• 直線的另一種表示

假設 R2 空間中的點集 i=(x,y) 滿足等式

a

x+by+d=0(1) 其中 a,b,d 均為標量，並且 a,b 至少有一個不為0。假設 b 不為0，則 y=−abx−db 設 x=t,−∞<t<∞，則點集i可以表示為 i=(x,y)=(t,−abt−db)=t(1,−ab)+(0,−db) 這其實是一條經過點 (0,−db) 方向為 (1,−ab) 的直線L。

進一步地，我們設 n⃗=(a,b)，則(1)式可以表示為

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