1、PCC及SPCC的定義
最近推導了維納濾波的公式，其中最重要的是當然是最小平方誤差準則（MSE）。但是在很多實際應用中，參考訊號是不可知的，因此MSE準則不具有實際意義。為了解決這個問題，我們需要尋找另一個準則替代MSE成為新的代價函式。這就是皮爾遜相關係數（Pearson Correlation Coefficient, PCC）的來歷。通過研究發現，相較於MSE，PCC具有許多吸引人的優秀性質，尤其在輸出信噪比分析方面。因此經典最優或次優濾波器的設計通常都是以後者為指導的。

設x和y是兩個均值為0的實隨機變數，PCC的原始定義是：

ρ(x,y)=E[xy]σxσy

其中，E[xy

]表示x和y的互相關係數；σx=E[x2]和σy=E[y2]分別為訊號x和y的方差。
不過為了分析方便，通常使用的是平方Pearson相關係數（SPCC），其定義式如下：

ρ2(x,y)=E2[xy]σ2xσ2y
SPCC一個很重要的性質就是：
0≤ρ2(x,y)≤1
其意義是表示兩個隨機變數之間線性相關的程度。
2、SPCC的重要性質
在講SPCC之前，需要把SPCC涉及到的維納濾波中加性噪聲的四個訊號定義清楚。
在維納濾波中，假設一個純淨的語音訊號x(k)受到零均值噪聲訊號ν(k)的干擾，且x(k)與ν(k)不相關。那麼在離散取樣k時刻，帶噪聲的語音訊號描述為：
y(k)

=x(k)+ν(k)
維納濾波的目的，就在於根據觀測訊號y(k)找到信源訊號x(k)的最優估計z(k)。
而維納濾波的思想，就在於假設z(k)可以通過一個濾波器h和多個觀測值序列y(k)組合得到。
z(k)=hTy(k)
其中，
y(k)=[y(k)y(k−1)y(k−L+1)]，L為濾波器長度。
根據z(k)和x(k)之間的關係我們可以通過二者作差定義誤差代價函式，利用MSE準則來求取最優濾波器，該濾波器就是維納濾波器。但是這不是本文要闡述的重點，感興趣的同學可以到網上搜索相關的文章來學習。

2.1 四個SPCC係數的定義
推導之前需要注意幾個關鍵的代換關係，有了這幾個代換關係公式的推導就不是什麼難事。但是幾乎所有的書上都認為這些關係是不言而喻的。有時候多提點一筆就可以節省很多時間，所以在此點破。
x

=hT1x，hTx=xTh。
類似的，
ν=hT1ν，hTν=νTh。
其中，hT1=[10...0]，長度還是L.
有了這個關係，公式推導起來就很方便了。這也正是這篇博文的意義所在。

首先是信源訊號x(k)與y(k)之間的SPCC。根據定義是可以寫成：
ρ2(x,y)=E2[xy]E[x2]E[y2]=SNR1+SNR
推導：
E[xy]=E[x(x+v)]=E[x2+xv]=E[

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