math: 求質數的幾種演算法
阿新 • • 發佈:2019-01-03
1、根據質數的定義求
質數定義:只能被1或者自身整除的自然數(不包括1),稱為質數。
利用它的定義可以迴圈判斷該數除以比它小的每個自然數(大於1),如果有能被它整除的,則它就不是質數。
對應程式碼是:
/// <summary> /// 輸出從2到max的所有質數 /// </summary> /// <param name="max"></param> public static void Prime(int max) { bool flag = false; int count = 0; for (int i = 2; i <= max; i++) { flag = IsPrime(i); if (flag) { Console.Write("{0,3} ",i); count++; if (count % 8 == 0) { Console.WriteLine(); } } } }/// <summary> /// 判斷輸入的數字是否是質數 /// </summary> /// <param name="n"></param> /// <returns></returns> public static bool IsPrime(int n) { bool flag = true; if (n < 2) { throw new ArgumentOutOfRangeException(); }for (int i = 2; i <= n - 1; i++) { if (n % i == 0) { flag = false; break; } } return flag; }
2、利用一個定理——如果一個數是合數,那麼它的最小質因數肯定小於等於他的平方根。例如:50,最小質因數是2,2<50的開根號
再比如:15,最小質因數是3,3<15的開根號
合數是與質數相對應的自然數。一個大於1的自然數如果它不是合數,則它是質數。
上面的定理是說,如果一個數能被它的最小質因數整除的話,那它肯定是合數,即不是質數。所以判斷一個數是否是質數,只需判斷它是否能被小於它開跟後後的所有數整除,這樣做的運算就會少了很多,因此效率也高了很多。
對應程式碼是:
只需要將之前的質數判斷更改一下就可以了
/// <summary> /// 判斷輸入的數字是否是質數 /// </summary> /// <param name="n"></param> /// <returns></returns> public static bool IsPrime(int n) { bool flag = true; if (n < 2) { throw new ArgumentOutOfRangeException(); } int max = Convert.ToInt32(Math.Floor(Math.Sqrt(n))); for (int i = 2; i <= max; i++) { if (n % i == 0) { flag = false; break; } } return flag; }
3、篩法求質數,效率最高,但會比較浪費記憶體
首先建立一個boolean型別的陣列,用來儲存你要判斷某個範圍內自然數中的質數,例如,你要輸出小於200的質數,你需要建立一個大小為201(建立201個儲存位置是為了讓陣列位置與其大小相同)的boolean陣列,初始化為true。
其次用第二種方法求的第一個質數(在此是2),然後將是2的倍數的數全置為false(2除外),即2、4、6、8……位置上置為false。然後是3的倍數的全置為false(3除外),一直到14(14是200的開平方),這樣的話把不是質數的位置上置為false了,剩下的全是質數了,挑著是true的打印出來就行了。
對應程式碼是:
/// <summary> /// 輸出從2到n的所有質數 /// </summary> /// <param name="n"></param> public static void Prime(int n) { bool[] array = new bool[n + 1].Select(x => x = true).ToArray(); array[1] = false; int count = 0; int sqrt = Convert.ToInt32(Math.Floor(Math.Sqrt(n))); for (int i = 2; i <= sqrt; i++) { for (int j = i; j * i <= n; j++) { array[j * i] = false; } } for (int i = 1; i <= n; i++) { if (array[i]) { Console.Write("{0,3} ", i); count++; if (count % 8 == 0) { Console.WriteLine(); } } } }