琴生不等式的證明

阿新 • • 發佈：2019-01-02

琴生不等式:若函式 $f(x)$ 在區間[a,b]上是凸函式,且 $x_{1},x_{2},......x_{n}$ 都是區間[a,b]內的數；

則有① $f(\frac{x_{1}+x_{2}+......+x_{n}}{n})\geq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})+......+f(x_{n})}{n}$ ;

若 $a_{1}+a_{2}+......+a_{n}= 1$ 且 $a_{i}\geq 0$

則有② $f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+......+a_{n}x_{n})\geq a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})+......+a_{n}f(x_{n})$ 。

兩個不等式等號成立的條件是當且僅當 $x_{1}= x_{2}=......= x_{n}$ 時等號成立

先來證明②式然後讓 $a_{1}= a_{2}=......= a_{n}=\frac{1}{n}$ 就可以直接證明不等式①了。

我們需要一個輔助結論若 $x_{1},x_{2},......,x_{n}$ 都是區間[a,b]內的數, $a_{1}+a_{2}+......+a_{n}= 1$ 且 $a_{i}\geq 0$

則有 $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+......+a_{n}x_{n}$ 仍然是區間[a,b]內的數

證明:

不妨設 $x_{1}\geq x_{2}\geq ......\geq x_{n}$ ;

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+......+a_{n}x_{n}$ =

$a_{1}\left ( x_{1}-x_{2} \right ) + \left ( a_{1}+a_{2} \right )\left ( x_{2}-x_{3} \right )+......$

$+(a_{1}+a_{2}+......$ $+ a_{n-1})(x_{n-1}-x_{n})+(a_{1}+a_{2}+......+a_{n})x_{n}$

不難發現多項式的每一項的值都是[0,(Xi - Xi+1)] $1\leq i\leq n-1$ 區間的數或者為0;

因此命題得證

接下來利用數學歸納法證明不等式②

證明:

當 $n= 1$ 時不等式為 $f(x_{1})=f(x_{1})$ 不等式顯然成立

當 $n= 2$ 時不等式為 $f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})\geq a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})$

對 $n= 2$ 時證明:

連結曲線上的兩點 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ 構建斜點式直線方程 $y= G(x)=kx+b$

則在區間 $(x_{1},x_{2})$ 中直線 $G(x)$ 在曲線的下方

總有 $G(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})= a_{1}G(x_{1})+a_{2}G(x_{2})$

因此 $a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})$ $= G(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})= a_{1}G(x_{1})+a_{2}G(x_{2})$

由於 $f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})\geq G(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})$ 當且僅當 $x_{1}= x_{2}$ 時等號成立

因此 $f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})\geq a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})$ 當且僅當 $x_{1}= x_{2}$ 時等號成立

假設對任意 $n\geq 2$ 不等式②都成立即:

假設 $f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+......+a_{n}x_{n})\geq a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})+......+a_{n}f(x_{n})$ 對任意 $\geq 2$ 都成立

則當 $n= n+1$ 時不等式②為:

$a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})+......+a_{n}f(x_{n})+a_{n+1}f(x_{n+1})$

$= (1-a_{n+1})$ $[\frac{a_{1}}{1-a_{n+1}}f(x_{1})+\frac{a_{2}}{1-a_{n+1}}f(x_{2})+......+\frac{a_{n}}{1-a_{n+1}}f(x_{n})]$ $+a_{n+1}f(x_{n+1})$

注意上式 $a_{_1}+a_{_2}+.....+a_{_n}= 1-a_{_n+1}$

$\leq (1-a_{n+1})$ $f(\frac{a_{1}}{1-a_{n+1}}x_{1}+\frac{a_{2}}{1-a_{n+1}}x_{2}+......+\frac{a_{n}}{1-a_{n+1}}x_{n})$ $+a_{n+1}f(x_{n+1})$

$\leq f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+......+a_{n}x_{n}+a_{n+1}x_{n+1})$

因此當 $n= n+1$

時不等式仍然成立

因此原不等式②是正確的

以上對凸函式進行研究那凹函式又有怎樣的性質呢

由於直線會在凹函式曲線的上方

所以對於凹函式總有:

③ $f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+......+a_{n}x_{n})\leq a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})+......+a_{n}f(x_{n})$

④ $f(\frac{x_{1}+x_{2}+......+x_{n}}{n}) \leq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})+......+f(x_{n})}{n}$

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