• UUT=UTU=I$U{U}^T=U^{T}U=I$，且U$U$是實數向量，則U是正交矩陣。可知U$U$的行（列）向量都是單位範數並且正交的。det(U)=1or−1$det(U)=1or-1$

• 行列式為+1的n維正交矩陣可以看作是n維旋轉

• 正交矩陣的保範性質：(Ux)T(Ux)=xTx$(Ux{)}^T(Ux)=x^{T}x$

• 基變換矩陣：
  (β1,⋯,βn)=(α1,⋯,αn)⎡⎣⎢⎢a11⋮am1a12⋮am2......a1n⋮amn⎤⎦⎥⎥=(α1,⋯,αn)A$({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n)=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}\end{array}\right]=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)A$

  X$X$是在基α$\alpha$下的座標，Y是在基β$\beta$下的座標，則

  Y=A−1X$Y=A^{-1}X$

  證明：αX=βY=αAY$\alpha X=\beta Y=\alpha AY$，所以Y=A−1X$Y=A^{-1}X$

可以看出，座標軸整體旋轉⇒$\Rightarrow$基變換矩陣是正交矩陣(+1)⇒$\Rightarrow$座標左乘正交矩陣(+1)。

• Givens旋轉和RQ分解
  RQ分解是A=RQ，R是上三角矩陣，Q是正交矩陣。
  Givens旋轉：
  

  Qx=⎡⎣⎢1cs−s−c⎤⎦⎥，Qy=⎡⎣⎢c−s1sc⎤⎦⎥，Qz=⎡⎣⎢cs−sc1⎤⎦⎥$$Q_x=\left[\begin{array}{c}1\\ c& -s\\ s& -c\end{array}\right]，Q_y=\left[\begin{array}{cc}c& s\\ 1\\ -s& c\end{array}\right]，Q_z=\left[\begin{array}{cc}c& -s\\ s& c\\ 1\end{array}\right]$$
  其中，c=cos(θ)，s=sin(θ)$c=cos(\theta )，s=sin(\theta )$。旋轉方向都是逆時針，分別是y->z，z->x，x->y。之所以,
  Qy$Q_y$有所不同是因為（x，y，z）的座標現後順序。
  分解步驟：（1）AQx$A{Q}_x$使A32=0<