求任意多邊形的重心
阿新 • • 發佈：2019-01-04
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計算多邊形重心方法：
（1）劃分多邊形為三角形：以多邊形的一個頂點V為源點（V可取輸入的第一個頂點），作連結V與所有非相鄰頂點的線段，即將原N邊形或分為（N-2）個三角形；
（2）求每個三角形的重心和麵積：
設某個三角形的重心為G（cx，cy），頂點座標分別為A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），則有cx = (x1 + x2 + x3)/3.同理求得cy。求面積的方法是s = ( (x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 - y1) ) / 2，當A1,A2,A3順時針排列時取-，否則取正（此定理不證）。事實上，在求每個三角形時不需要辨別正負，之後有方法抵消負號，見下述。
（3）求原多邊形的重心：
公式：cx = (∑ cx[i]*s[i]) / ∑s[i]; cy = (∑ cy[i]*s[i] ) / ∑s[i];其中（cx[i], cy[i]）, s[i]分別是所劃分的第i個三角形的重心座標和麵積。由題“ connect the points in the given order”知每個s[i]的正負號相同，故而∑ cx[i]*s[i]能與∑s[i]消號，所以根本不需要在第（2）步判斷每個s[i]的正負。另外，在（2）中求每個重心座標時要除以3，實際上不需要在求每個三角形座標時都除以3，只需要求出∑ cx[i]*s[i]後一次性除以3即可。即是多邊形重心座標變為：cx = (∑ cx[i]*s[i]) / （3*∑s[i]）; cy = (∑ cy[i]*s[i] ) / （3*∑s[i]）;
總結：
每個三角形重心：cx = x1 + x2 + x3；cy同理。
每個三角形面積：s = ( (x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 - y1) ) / 2；
多邊形重心：cx = (∑ cx[i]*s[i]) / （3*∑s[i]）; cy = (∑ cy[i]*s[i] ) / （3*∑s[i]）;
#include<stdio.h> int main() { int n,i; int x1,y1,x2,y2,x3,y3; double sum_x=0,sum_y=0,sum_s=0; scanf("%d",&n); scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2); for(i=1; i<=n-2; i++) { scanf("%d%d",&x3,&y3); double s=((x2-x1)*(y3-y1)-(x3-x1)*(y2-y1))/2.0; sum_x+=(x1+x2+x3)*s; sum_y+=(y1+y2+y3)*s; sum_s+=s; x2=x3; y2=y3; } printf("%.2lf %.2lf\n",sum_x/sum_s/3.0,sum_y/sum_s/3.0); return 0; }