2. 程式人生 > >【生成函式+計數】LOJ6389 [THUPC2018] 好圖計數

【生成函式+計數】LOJ6389 [THUPC2018] 好圖計數

阿新 • • 發佈：2019-01-05

【題目】
原題地址
定義 G G 的補圖與 G G 有完全相同的節點，任意兩點之間有邊當且僅當他們在 G

G 中不相鄰
定義一個無向簡單圖是好的滿足：一個單點是好的，若干個好的圖分別作為連通塊所形成的圖是好的，一個好的圖的補圖是好的。
給定一個整數 n n ，求 n n
個節點的本質不同的好圖數量， n ≤ 23333 n\leq 23333 。

【解題思路】
以下多數參考這裡，有部分補充修改。

這個題和無標號生成樹計數類似
設 n

n 個點的好圖數目為 f n f_n ，其中連通圖的數目為 g n g_n ，那麼顯然當 n ≥ 2 n\geq 2 ，連通好圖與不連通好圖是一一對應的，也就是 f n = 2 g n f_n=2g_n
考慮 f f 的生成函式 F ( x ) = ∑ f i x i F(x)=\sum f_ix^i ，為了方便，設 f 0 = 1 f_0=1
首先一個好圖由若干個連通好圖組成，於是我們考慮列舉每個連通好圖的貢獻，那麼一種大小為 k k 的連通好圖的貢獻是 ∑ i ≥ 0 x k i \sum_{i\geq 0} x^{ki} ，因此我們有：
F ( x ) = ∏ k > 0 ( ∑ i ≥ 0 x i k ) g k = ∏ k > 0 ( 1 − x k ) − g k F(x)=\prod_{k>0}(\sum_{i\geq 0}x^{ik})^{g_k}=\prod_{k>0}(1-x^k)^{-g_k}
然後對兩邊同時取 l n ln ：
ln ⁡ ( F ( x ) ) = − ∑ k > 0 g k ln ⁡ ( 1 − x k ) \ln(F(x))=-\sum_{k>0} g_k\ln(1-x^k)
再求導：
F ′ ( x ) F ( x ) = ∑ k > 0 g k k x k − 1 1 − x k \frac {F'(x)} {F(x)}=\sum_{k>0}g_k\frac {kx^{k-1}} {1-x^k}
然後拆回去每一項：
[ x n ] F ( x ) = ( n + 1 ) f n + 1 = ∑ i = 0 n f i ( [ x n − i ] ∑ k > 0 k g k x k − 1 1 − x k ) [x^n]F(x)=(n+1)f_{n+1}=\sum\limits_{i=0}^nf_i([x^{n-i}]\sum\limits_{k>0}kg_k\frac{x^{k-1}}{1-x^k})
這裡注意到 x k − 1 1 − x k = ∑ i > 0 x i k − 1 \frac{x^{k-1}}{1-x^k}=\sum_{i>0}x^{ik-1} ，則 [ x n ] x k − 1 1 − x k = [ k ∣ n + 1 ] [x^n]\frac{x^{k-1}}{1-x^k}=[k|n+1] ，因此
( n + 1 ) f n + 1 = ∑ i = 0 n f i ∑ k ∣ n + 1 − i k g k (n+1)f_{n+1}=\sum_{i=0}^nf_i\sum_{k|n+1-i}kg_k

相關推薦

【生成函式+計數】LOJ6389 [THUPC2018] 好圖計數

【題目】 原題地址 定義 G G G的補圖與

[JZOJ3303][BZOJ3456] 城市規劃【多項式】【生成函式】【未完成】

Description 剛剛解決完電力網路的問題, 阿狸又被領導的任務給難住了. 剛才說過, 阿狸的國家有n 個城市, 現在國家需要在某些城市對之間建立一些貿易路線, 使得整個國家的任意兩個城市都直接或間接的連通. 為了省錢, 每兩個城市之間最多隻能有一條直接的貿易路徑. 對

hdu 1028 Ignatius and the Princess III【生成函式】

老是想著化簡，實際上O(n^3)就行了…… 寫成生成函式是\( \prod_{i=1}^{n}(1+x^i+2^{2i}+...+x^{ \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor }) \)，暴力乘即可 #include<iostream> #includ

hdu1085 Holding Bin-Laden Captive!【生成函式】

列出生成函式的多項式之後暴力乘即可 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; const int N=20005; int n,x,y,z,a[N],b[N]; i

hdu 1398 Square Coins【生成函式】

預處理出完全平方數就和普通的生成函式解整數拆分一樣了 #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int N=605; int n,m,q[N],a[N],b[N]; int main() {

bzoj 3771: Triple【生成函式+FFT+容斥原理】

瞎搞居然1A，真是吃鯨 欸今天寫不完了orz #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; const int N=500005; int n,m,lm,bt,ans[N]

【雜題】[LibreOJ 2541] 【PKUWC2018】獵人殺【生成函式】【概率與期望】

Description 獵人殺是一款風靡一時的遊戲“狼人殺”的民間版本，他的規則是這樣的： 一開始有 n個獵人，第 i 個獵人有仇恨度 wi。每個獵人只有一個固定的技能：死亡後必須開一槍，且被射中的人也會死亡。 然而向誰開槍也是有講究的，假設當前還活著的獵人有

LuoguP4389 付公主的揹包【生成函式+多項式exp】

題目背景 付公主有一個可愛的揹包qwq 題目描述 這個揹包最多可以裝10^5105大小的東西 付公主有n種商品，她要準備出攤了 每種商品體積為Vi，都有10^5105件 給定m，對於s\in [1,m]s∈[1,m]，請你回答用這些商品恰好裝s體積的方案數 輸入輸出格式 輸入格式： 第一行n

【生成函式+多項式求逆】LGP5162 WD與積木

【題目】 原題地址 有 n n n塊積木，給每塊積木隨機一個大小並標號，然後將相同大小的積木放在一層，再

Codeforces 1096G. Lucky Tickets【生成函式】

LINK 題目大意 很簡單自己看 思路 考慮生成函式（為啥tags裡面有一個dp啊） 顯然，每一個指數上是否有係數是由數集中是否有這個數決定的 有的話就是1沒有就是0 然後求出這個生成函式的\(\frac{n}{2}\)次方 把每一項的係數全部平方加起來。。沒了 #include<

BZOJ3771: Triple【生成函式】

Description 我們講一個悲傷的故事。 從前有一個貧窮的樵夫在河邊砍柴。 這時候河裡出現了一個水神，奪過了他的斧頭，說： “這把斧頭，是不是你的？” 樵夫一看：“是啊是啊！” 水神把斧頭扔在一邊，又拿起一個東西問： “這把斧頭，是不是你的？” 樵夫看不清楚，但又怕真的是自己的斧頭，只好

【HDU】4658 Integer Partition【生成函式——數拆分】

題目分析： 用了五邊形數定理以及生成函式，然而我看懂了生成函式怎麼搞這題卻不知道為啥生成函式是五邊形數形式= = 首先觀察下面的圖片： 很容易我們可以發現用這種方式構造N個五邊形（假設一個點也算一個五邊形），需要點的個數為： n∗(3n−1)2

【生成函式+拉格朗日插值+整體DP+線段樹合併】LGP4365 [九省聯考2018]祕密襲擊coat

【題目】 原題地址 給定一棵NNN個節點的樹，點權1∼W1 \sim W1∼W，求樹的每一個連通塊的第KKK大點權之和。 【解題思路】 以下均來自這裡 首先可以轉化一下題目。 Ans=∑S∈TkthofS=∑i=1Wi×∑S∈T[kthofS==i]=∑i=1W

【字體設計】如何更好的吸引人？不滿意不要錢！

字體設計 視覺設計 方塊字 漢字 藝術性 （提供專業、高效的字體設計服務，不滿意不收費，聯系QQ：3168579596）字體設計，點擊查看！>>　　在視覺設計工作中，幾乎每項任務都會使用到字體。字體具有非常多的風格，不同風格類型所表達的感情是不一樣的。但是通過一些簡單的字體改造

【spring data jpa】jpa中使用count計數方法

class spa spring span pre data 根據 直接 uid spring data jpa中使用count計數方法很簡單 直接在dao層寫方法即可 int countByUidAndTenementId(String parentUid, Strin

25、【支付模組開發】——將配置好的支付寶沙箱環境整合到我們的專案中以及支付介面的編寫

####1、將支付寶Demo中的相關檔案複製到我們的專案中： 首先，我們將Demo中src中的包及裡面的檔案複製到我們專案中 同樣，我們也要講zhifubao.properties這個配置檔案方法我們專案中的 resources目錄下： 加下來就是我們的jar包了~ 首先我們先在

hdu 1028 Ignatius and the Princess III【生成函數】

main printf += 生成函數 cpp 化簡 sin ESS n) 老是想著化簡，實際上O(n^3)就行了…… 寫成生成函數是\( \prod_{i=1}^{n}(1+x^i+2^{2i}+...+x^{ \left \lfloor \frac{n}{i} \rig

STM32F4之USART【庫函式操作】

       07xx內嵌四個通用同步/非同步接收器​​（USART1，USART2，USART3 和USART6）和兩個通用非同步收發器（UART4和UART5）。這6個介面提供非同步通訊的IrDASIR ENDEC支援，多機通訊模式，單線半雙工通訊模式LIN主/從功能。 USART1和USART6介面能夠

【原創翻譯】【Matlab函式參考】imadjust函式，調整影象強度與色彩

IMADJUST 調整影象的強度或色彩。 J = IMADJUST(I) 將影象I中的畫素強度值對映到影象J中，使1%的資料在I的低和高 強度下達到飽和。這將增強輸出影象J的對比度。 J = IMADJUST(I,[LOW_IN; HIGH_IN],[LOW_O

【原創翻譯】【Matlab函式參考】strcmp 字串比較。

TF = STRCMP(S1,S2) 比較字串S1和S2，如果兩者相同，則返回邏輯1（真），如 果不相同，則返回邏輯0（假）。 TF = STRCMP(S,C), 比較字串S與單元矩陣C中的每個元素，其中S是一個字元向 量（或是一個1×1單元陣列），C是一個字串