CodeForces - 1097D：Makoto and a Blackboard （積性）

阿新 • • 發佈：2019-01-05

Makoto has a big blackboard with a positive integer $n$

times:

Suppose the number currently written on the blackboard is $v$

$n$

58">58

as his generator seed, each divisor is guaranteed to be chosen with equal probability.

He now wonders what is the expected value of the number written on the blackboard after $k$

steps.

It can be shown that this value can be represented as $\frac{P}{Q}$

$n$

Q≢0(mod109+7)">Q≢0(mod109+7). Print the value of

P \cdot Q^{- 1}

Input

The only line of the input contains two integers $n$

and

k

k

15">

1 \leq k \leq 10^{4}

Print a single integer — the expected value of the number on the blackboard after $k$

k

defined above.

k

Input

6 1

Output

Input

6 2

Output

875000008

Input

60 5

Output

237178099

題意：開始給定一個數N，然後讓你K輪如下操作：等概率的變為當前數的一個因子，求期望。

思路：發現有點像孟德爾定律的資料，其實就是在暗示我們：豌豆的幾種顏色可以單獨算，然後作乘。

事實上就是這樣的，對於每個素數因子，我們假設他在N中的冪為p（a^p），那麼我們可以算出最後冪為1到p的概率。而不同素因子之間不會相互影響。

所以我們預處理出開始冪為p，K輪後冪為q的次數mp[p][q]；然後就可以對於每個素數得到其概率，然後累乘即可。

（注意不要爆ll

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=2000010;
const int Mod=1e9+7;
ll ans,a[maxn],f[maxn],rev[maxn],tot,mp[60][60],M[60][60],sum; int K;
int qpow(ll a,int x){
    int res=1; while(x){
        if(x&1) res=1LL*res*a%Mod;
        a=1LL*a*a%Mod; x>>=1;
    } return res;
}
ll get(int p)
{
    f[p]++; ll tmp=qpow(qpow(f[p],K),Mod-2),res=0;
    rep(i,1,f[p]) {
        res=(res+1LL*mp[f[p]][i]*tmp%Mod)%Mod;
        tmp=tmp*a[p]%Mod;
    }
    return res;
}
void solve(int p)
{
    ll tmp=1; mp[p][p]=1;
    rep(i,1,K){
        rep(j,1,p) M[p][j]=1LL*mp[p][j]*p%Mod,mp[p][j]=0;
        rep(j,1,p) {
            rep(k,1,j) mp[p][k]=(mp[p][k]+1LL*M[p][j]*rev[j]%Mod)%Mod;
        }
    }
}
int main()
{
    ll N,tN; scanf("%lld%d",&N,&K); tN=N;
    rev[0]=1; rep(i,1,51) rev[i]=qpow(i,Mod-2);
    rep(i,1,51) solve(i); ans=1LL;
    for(ll i=2;i*i<=tN;i++){
        if(tN%i==0){
            a[++tot]=i; while(tN%i==0) tN/=i,f[tot]++;
            sum=sum*(f[tot]+1);
        }
    }
    if(tN>1) a[++tot]=tN,f[tot]=1;
    rep(i,1,tot) ans=1LL*ans*get(i)%Mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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