題目：

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

例子:

Example 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

The median is 2.0

Example 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

The median is (2 + 3)/2 = 2.5
 

問題解析：

給定兩個排序的陣列，給出兩個陣列的中位數。

連結：

思路標籤

雙指標、割和二分法、兩個排序陣列的第k個元素

解答：

• 問題為尋找中位數，這類問題屬於尋找兩個排序陣列中的第k個元素。
• 下面給出雙指標合併和割的第k個元素。

1. 雙指標合併陣列求中位數

• 利用兩個指標分別指向第一和第二個陣列；
• 利用兩個陣列的大小，使用計數直接找到對應的中位數。

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector
 
<int>& nums2) {
        int m = nums1.size();
        int n = nums2.size();
        int length = m + n;
        int midl = 0, midr = 0;
        if(length % 2 == 0){
            midl = length/2;
            midr = length/2+1;
        }
        else{
            midl = length/2+1;
            midr = length/2
 
+1;
        }

        int k = 0;
        int i = 0, j = 0;
        int mid[2] = {0,0};
        while(k < midr){
            int a = (i < m)? nums1[i] : INT_MAX;
            int b = (j < n)? nums2[j] : INT_MAX;

            if(a <= b){
                k++;
                i++;
            }else{
                k++;
                j++;
            }

            if(k == midl)
                mid[0] = min(a, b);
            if(k == midr)
                mid[1] = min(a, b);
        }
        return (mid[0] + mid[1])/2.0;
    }
};

2. 利用割的思想，以及二分法來尋找中位數。

• 利用割的思想尋找兩個陣列中的第k個元素：我們設:
  
  • Ci為第i個數組的割；
  • Li為第i個數組割後的左元素；
  • Ri為第i個數組割後的右元素。
• 對於兩個陣列：
  
  • 首先Li<=Ri是一定的（因為陣列有序）；
  • 如果我們令L1<=R2 && L2<=R1，那麼左半邊 全小於右半邊；
  • 如果左邊的元素個數相加剛好等於k，那麼第k個元素就是Max(L1,L2)；
  • 如果 L1>R2，說明陣列1的左邊元素太大，我們把C1減小，把C2增大。
  • L2>R1同理，把C1增大，C2減小。
• 例子：
  
  • 假設k=3
  • 對於 [1 4 7 9] [2 3 5]
  • 設C1 = 2，那麼C2 = k-C1 = 1
  • [1 4/7 9] [2/3 5]
  • 這時候，L1(4)>R2(3)，說明C1要減小，C2要增大，C1 = 1，C2=k-C1 = 2
  • [1/4 7 9] [2 3/5]
  • 這時候，滿足了L1<=R2 && L2<=R1，第3個元素就是Max(1,3) = 3。
• 中位數的特殊處理:（考慮奇偶的問題）
  
  • 虛擬加入‘#’(這個trick在manacher演算法中也有應用)，讓陣列長度恆為奇數（2n+1恆為奇數）。
  • 加入前：[1 4 7 9]，長度4；加入後：[# 1 # 4 # 7 # 9 #]，長度9；
  • 加入前：[2 3 5]，長度3；加入後：[# 2 # 3 # 5 #]，長度7。
  • 加完之後，每個位置可以通過/2得到原來元素的位置。
  • 無論是奇數還是偶數的情況都有：
  • Li = (Ci-1)/2, Ri = Ci/2
• 把2個數組看做一個虛擬的陣列A，目前有2m+2n+2個元素，找中位數，割在m+n+1處，所以我們只需找到m+n+1位置的元素和m+n+2位置的元素就行了。
• 左邊：A[m+n+1] = Max(L1+L2)
• 右邊：A[m+n+2] = Min(R1+R2)

Mid = (A[m+n+1]+A[m+n+2])/2 = (Max(L1+L2) + Min(R1+R2) )/2

• 更快地尋找割的位置的方法：二分法
  
  • 只要C1或C2確定，另外一個也就確定了。這裡，為了效率，我們肯定是選長度較短的做二分，假設為C1。
  • L1>R2，把C1減小，C2增大。—> C1向左二分
  • L2>R1，把C1增大，C2減小。—> C1向右二分
• 如果C1或C2已經到頭怎麼辦？這種情況出現在：如果有個陣列完全小於或大於中值。可能有4種情況：
  
  • C1 = 0 ：陣列1整體都比中值大，L1賦小值取L2，中值在2中；
  • C1 = 2*m ：陣列1整體都比中值小，R1賦大值取R2，中值在2中；
  • C2 = 0 ：陣列2整體都比中值大，L2賦小值取L1，中值在1中；
  • C2 = 2*n：陣列2整體逗比中值小，R2賦大值取R1，中值在1中。

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int m = nums1.size();
        int n = nums2.size();
        if(m > n)
            return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);

        int L1, R1, L2, R2, C1, C2, low = 0, high = 2*m;
        while(low <= high){
            C1 = (low + high)/2;
            C2 = m+n - C1;

            L1 = (C1 == 0)? INT_MIN : nums1[(C1-1)/2];
            R1 = (C1 == 2*m)? INT_MAX : nums1[C1/2];
            L2 = (C2 == 0)? INT_MIN : nums2[(C2-1)/2];
            R2 = (C2 == 2*n)? INT_MAX : nums2[C2/2];

            if(L1 > R2)
                high = C1-1;
            else if(L2 > R1)
                low = C1+1;
            else
                break;
        }
        return (max(L1, L2) + min(R1, R2))/2.0;
    }
};