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14 剪繩子

題目：給你一根長度為n的繩子，請把繩子剪成m段   (m和n都是整數，n>1並且m>1) 每段繩子的長度記為k[0],k[1],...,k[m].請問k[0]*k[1]*...*k[m-1]可能的最大乘積是多少？ 例如，當繩子的長度為8時，我們把它剪成長度分別為2,3,3的三段，此時得到的最大乘積是18.   思路：首先定義函式f(n)為把長度為n的繩子剪成若干段後各段長度乘積的最大值。在剪第一刀時，我們有n-1種選擇，也就是說第一段繩子的可能長度分別為1,2,3.....，n-1。因此f(n)=max(f(i)*f(n-i))，其中i = 1,2,3...n/2。

這是一個自上而下的遞迴公式。由於遞迴會有大量的不必要的重複計算。一個更好的辦法是按照從下而上的順序計算，也就是說我們先得到f(2),f(3)，再得到f(4),f(5)，直到得到f(n)。 當繩子的長度為2的時候，只能剪成長度為1的兩段，所以f(2) = 1，當n = 3時，容易得出f(3) = 2; //動態規劃：從上往下分析問題，從下往上解決問題 #include <stdio.h>  #include<math.h>    // ====================動態規劃====================  int maxProductAfterCutting_solution1 ( int len )   {       if ( len < 2 )  //長度為1時直接返回0         return 0 ;       if ( len == 2 )   //題目已經要求必須剪斷，m>1，故長度為2時，最大乘積為1，長度為3時，最大乘積為2         return 1 ;       if ( len == 3 )           return 2 ;         vector<int> A(len+1); //多開闢一個空間，最後一個用來儲存最大值     A [ 0 ] = 0 ;   / /當n<=3時，A[n]儲存的是繩子的長度，方便之後式子迭代     A [ 1 ] = 1 ;       A [ 2 ] = 2 ;       A [ 3 ] = 3 ;         for ( int i = 4 ; i <= len ; i++ )            for ( int j = 1 ; j <= i / 2 ; j++ )  //i=4~len, j= 1~i/2         {                 A[i] = max(A[i], A[j]*A[i-j]); //前一項用來不斷更新A[i],並不是代表不剪（如果想加入不剪斷的情況，可以與i比較）         }       return A[len] ;   }     //需要證明區域性最優可以得到全域性最優，如果不能確切的證明就不要用貪婪法 // ====================貪婪演算法====================  int maxProductAfterCutting_solution2 ( long int length )   {       if ( length < 2 )           return 0 ;       if ( length == 2 )           return 1 ;       if ( length == 3 )           return 2 ;         // 儘可能多地減去長度為3的繩子段      int timesOf3 = length / 3 ;         // 當繩子最後剩下的長度為4的時候，不能再剪去長度為3的繩子段。      // 此時更好的方法是把繩子剪成長度為2的兩段，因為2*2 > 3*1。      if ( length - timesOf3 * 3 == 1 )           timesOf3 -= 1 ;         int timesOf2 = ( length - timesOf3 * 3 ) / 2 ;         return ( long int ) ( pow ( 3 , timesOf3 )) * ( long int ) ( pow ( 2 , timesOf2 ));   }