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揹包問題總結

揹包問題   揹包問題 (Knapsack problem x ) 有很多種版本，常見的是以下三種：

• 0-1 揹包問題 (0-1 knapsack problem)：每種物品只有一個
• 完全揹包問題 (UKP, unbounded knapsack problem)：每種物品都有無限個可用
• 多重揹包問題
  (BKP, bounded knapsack problem)：第 i 種物品有 n[i] 個可用

  0-1 揹包問題 0-1揹包中一種物體只有一個，放入數量為0或者1 定義狀態 dp[i][j]，表示“ 把前 i 種物品裝進重量限制為 j 的揹包可以獲得的最大價值 ” v[i]表示物品i的價值，w[i]表示物品i的重量，j為揹包的重量限制 0/1揹包問題狀態轉移方程便是：    dp[i][j] = max{dp[i − 1][j],  dp[i − 1] [j − w[i]] + v[i]}     兩項分別代表物品i不選擇或者選擇的情況 (減去的代表選擇的) 時間複雜度是O(nb),空間也是O(nb)，假設有n種物品，重量限制為b     可以簡化為:    d[j]=max{d[j],d[j-w[i]]+v[i]}; 注意：遍歷j時務必從右到左，因為d[j]只依賴於上一階段的結果，從右到左避免覆蓋上階段有用結果     完全揹包問題 完全揹包中一種物體可以有多個，可以放滿揹包為止 完全揹包問題狀態轉移方程是：    dp[i][j] = max{dp[i − 1][j],  dp[i] [j − w[i]] + v[i]} 兩項分別代表物品i不選擇或者選擇，由於對物品i沒有限制，故後一項為dp[i]而非上面的dp[i-1]   或用以下遞推式（上面的效率要高一點）： dp[i][j] = max( dp[i-1][j-k*w[i]] + k*v[i] ),   k為選擇物品的個數， k=0,1,2...j/w[i] (0 ≤ k ∗ w[i] ≤ j) 基於前i-1個物品，在選擇不同個數的物品i的方案中選擇最大的那個 （和問題 coin change 比較相似）   可以簡化為：    d[j] = max{d[j], d[j-k*w[i]] + k*v[i]} 注意：遍歷j時務必從右到左，原因同上   多重揹包問題 多重揹包中一種物體可以有多個，個數有人為限定（也不能超過揹包容量） 多重揹包問題狀態轉移方程是： dp[i][j] = max( dp[i−1][j−k∗w[i]] + k∗v[i] )    0 ≤ k ≤ n[i],0 ≤ k ∗ w[i] ≤ j n[i]為物品i限制的個數 基於前i-1個物品，在選擇不同個數的物品i的方案中選擇最大的那個   可以簡化為：    d[j] = max{d[j], d[j-k*w[i]] + k*v[i]} 注意：遍歷j時務必從右到左，原因同上   參考： 【動態規劃】揹包問題（一） 01揹包 完全揹包 多重揹包 - A.S.KirigiriKyouko - 部落格園 揹包問題總結