矩陣的乘法演算法
一般矩陣乘法演算法：
原理：矩陣相乘最重要的方法是一般矩陣乘積。它只有在第一個矩陣的欄數（column）和第二個矩陣的列數（row）相同時才有定義。一般單指矩陣乘積時，指的便是一般矩陣乘積。若A為m×n矩陣，B為n×p矩陣，則他們的乘積AB會是一個m×p矩陣。其乘積矩陣的元素如下面式子得出：
程式碼如下：
struct mat{ int n, m; double data[MAXN][MAXN]; }; int mul(mat& c, const mat& a, const mat& b){ int i, j, k; if (a.m != b.n)return 0; c.n = a.n; c.m = b.m; for (i = 0; i < c.n; i++) for (j = 0; j < c.m; j++) for (c.data[i][j] = k = 0; k < a.m; k++) c.data[i][j] += a.data[i][k] * b.data[k][j]; return 1; }
時間複雜度：O(n3)
傳統分治方法：
C = AB
將A, B, C分成相等大小的方塊矩陣：
C11=A11
C12=A11B12+A12B22 (3)
C21=A21B11+A22B21 (4)
C22=A21B12+A22B22 (5)
如果n=2，則2個2階方陣的乘積可以直接用(2)-(5)式計算出來，共需8次乘法和4次加法。當子矩陣的階大於2時，為求2個子矩陣的積，可以繼續將子矩陣分塊，直到子矩陣的階降為2。這樣，就產生了一個分治降階的遞迴演算法。依此演算法，計算2個n階方陣的乘積轉化為計算8個n/2階方陣的乘積和4個n/2階方陣的加法。2個n/2×n/2矩陣的加法顯然可以在c*n2/4時間內完成，這裡c是一個常數。因此，上述分治法的計算時間耗費T(n)應該滿足：
T(2) = b
T(n) = 8T(n / 2) + cn2 (n > 2)
由上式可知：分治法的運用，方陣的乘法的演算法效率並沒有提高！
分治法的設計思想：將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。
任何一個可以用計算機求解的問題所需的計算時間都與其規模有關。問題的規模越小，越容易直接求解，解題所需的計算時間也越少。例如，對於n個元素的排。n=2時，只要作一次比較即可排好序。n=3時序問題，當n=1時，不需任何計算只要作3次比較即可，…。而當n較大時，問題就不那麼容易處理了。要想直接解決一個規模較大的問題，有時是相當困難的。
分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特徵：
1.可縮性。問題的規模縮小到一定的程度就可以容易地解決；
2.最有子結構性。問題可以分解為若干個規模較小的相同問題；
3.可合性。利用該問題分解出的子問題的解可以合併為該問題的解；
4.獨立性。該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問 題之間不包含公共的子子問題。
分治思想與遞迴就像一對孿生兄弟，經常同時應用在演算法設計中，並由此產生高效的演算法！
Strassen演算法
傳統方法2個2階方陣相乘需要8次乘法。按照上述分治法的思想可以看出，要想減少乘法運算次數，關鍵在於計算2個2階方陣的乘積時，能否用少於8次的乘法運算。Strassen提出了一種新的演算法來計算2個2階方陣的乘積。他的演算法只用了7次乘法運算，但增加了加、減法的運算次數。這7次乘法是:
M1=A11(B12-B22)
M2=(A11+A12)B22
M3=(A21+A22)B11
M4=A22(B21-B11)
M5=(A11+A22)(B11+B22)
M6=(A12-A22)(B21+B22)
M7=(A11-A21)(B11+B12)
做了7次乘法後，再做若干次加、減法：
C11=M5+M4-M2+M6
C12=M1+M2
C21=M3+M4
C22=M5+M1-M3-M7
演算法效率分析:
Strassen矩陣乘積分治演算法中，用了7次對於n/2階矩陣乘積的遞迴呼叫和18次n/2階矩陣的加減運算。由此可知，該演算法的所需的計算時間T(n)滿足如下的遞迴方程:
T(2) = b
T(n) = 7T(n / 2) + cn2 (n > 2)
按照解遞迴方程的套用公式法，其解為T(n)=O(nlog7)≈O(n2.81)。由此可見，Strassen矩陣乘法的計算時間複雜性比普通矩陣乘法有階的改進。
資料的儲存結構：
二維陣列（弊端：必須巨集定義一常量N）
二重指標 （擺脫巨集定義的限制，但程式變得繁瑣）
原始矩陣:
A,B,C(C=AB)
分塊矩陣：
A11，A12，A21，A22(對方陣A分成四塊)
B11，B12，B21，B22(對方陣B分成四塊)
七塊關鍵陣：
M1，M2，M3，M4，M5，M6，M7
中間方陣：
AA，BB(計算加法時作一個橋樑)
二級指標定義說明：
int **c; c = (int**)malloc(n * sizeof(int)); for(int i = 0; i < n; i++) c[i] = (int *)malloc(n * sizeof(int));兩矩陣相加問題:
//矩陣加法： void add(int n, int A[][N], int B[][N], int R[][N]) { int i, j; for(i = 0; i < n; i++) for(j = 0; j < n; j++) R[i][j] = A[i][j] + B[i][j]; }兩矩陣相減問題:
//矩陣減法： void sub(int n,int A[][N],int B[][N],int R[][N]) { int i,j; for(i = 0; i < n; i++) for(j = 0; j < n; j++) R[i][j] = A[i][j] - B[i][j]; }兩方陣相乘問題:
//階為2的方陣相乘： void multiply(int A[][N],int B[][N],int R[][N]) { int M1 = A[0][1] * (B[0][1] - B[1][1]); int M2 = (A[0][0] + A[0][1]) * B[1][1]; int M3 = (A[1][0] + A[1][1]) * B[0][0]; int M4 = A[1][1] * (B[1][0] - B[0][0]); int M5 = (A[0][0] + A[1][1]) * (B[0][0] + B[1][1]); int M6 = (A[0][1] - A[1][1]) * (B[1][0] + B[1][1]); int M7 = (A[0][0] - A[1][0]) * (B[0][0] + B[0][1]); R[0][0] = M5 + M4 - M2 + M6; R[0][1] = M1 + M2; R[1][0] = M3 + M4; R[1][1] = M5 + M1 - M3 - M7; }將大的方陣劃分的問題
//分塊函式 void divide(int A[][N], int n, int X11[][N], int X12[][N], int X21[][N], int X22[][N] ) { int i, j; for(i = 0; i < (n / 2); i++) for(j = 0; j < (n / 2); j++) { X11[i][j] = A[i][j]; X12[i][j] = A[i][j + (n / 2)]; X21[i][j] = A[i + (n / 2)][j]; X22[i][j] = A[i + (n / 2)][j + (n / 2)]; } }完整程式碼如下:
#include<stdio.h> #include<math.h> #define N 4 //二階矩陣相乘 void Matrix_Multiply(int A[][N], int B[][N], int C[][N]) { for(int i = 0; i < 2; i++) { for(int j = 0; j < 2; j++) { C[i][j] = 0; for(int t = 0; t < 2; t++) { C[i][j] = C[i][j] + A[i][t] * B[t][j]; } } } } //矩陣加法： void add(int n, int A[][N], int B[][N], int R[][N]) { int i, j; for(i = 0; i < n; i++) for(j = 0; j < n; j++) R[i][j] = A[i][j] + B[i][j]; } //矩陣減法： void sub(int n, int A[][N], int B[][N], int R[][N]) { int i,j; for(i = 0; i < n; i++) for(j = 0; j < n; j++) R[i][j] = A[i][j] - B[i][j]; } void strassen(int n, int A[][N], int B[][N], int C[][N]) { int i, j; int A11[N][N], A12[N][N], A21[N][N], A22[N][N]; int B11[N][N], B12[N][N], B21[N][N], B22[N][N]; int C11[N][N], C12[N][N], C21[N][N], C22[N][N]; int AA[N][N], BB[N][N]; int M1[N][N], M2[N][N], M3[N][N], M4[N][N], M5[N][N], M6[N][N], M7[N][N]; if(n == 2) { Matrix_Multiply(A, B, C); } else { for(i = 0; i < n / 2; i++) { for(j = 0; j < n / 2; j++) { A11[i][j] = A[i][j]; A12[i][j] = A[i][j + n / 2]; A21[i][j] = A[i + n / 2][j]; A22[i][j] = A[i + n / 2][j + n / 2]; B11[i][j] = B[i][j]; B12[i][j] = B[i][j + n / 2]; B21[i][j] = B[i + n /2][j]; B22[i][j] = B[i + n /2][j + n / 2]; } } sub(n / 2, B12, B22, BB); strassen(n / 2, A11, BB, M1); add(n / 2, A11, A12, AA); strassen(n / 2, AA, B22, M2); add(n / 2, A21, A22, AA); strassen(n / 2, AA, B11, M3); sub(n / 2, B21, B11, BB); strassen(n / 2, A22, BB, M4); add(n / 2, A11, A22, AA); add(n / 2, B11, B22, BB); strassen(n / 2, AA, BB, M5); sub(n / 2, A12, A22, AA); add(n / 2, B21, B22, BB); strassen(n / 2, AA, BB, M6); sub(n / 2, A11, A21, AA); add(n / 2, B11, B12, BB); strassen(n / 2, AA, BB, M7); //C11 = M5 + M4 - M2 + M6 add(n / 2, M5, M4, AA); sub(n / 2, M6, M2, BB); add(n / 2, AA, BB, C11); //C12 = M1 + M2 add(n / 2, M1, M2, C12); //C21 = M3 + M4 add(n / 2, M3, M4, C21); //C22 = M5 + M1 - M3 - M7 sub(n / 2, M5, M3, AA); sub(n / 2, M1, M7, BB); add(n / 2, AA, BB, C22); for(i = 0; i < n / 2; i++) { for(j = 0; j < n / 2; j++) { C[i][j] = C11[i][j]; C[i][j + n / 2] = C12[i][j]; C[i + n / 2][j] = C21[i][j]; C[i + n / 2][j + n / 2] = C22[i][j]; } } } } int main(void) { int A[N][N], B[N][N], C[N][N]; printf("input A: \n"); for(int i = 0; i < N; i++) for(int j = 0; j < N; j++) scanf("%d", &A[i][j]); printf("input B: \n"); for(int i = 0; i < N; i++) for(int j = 0; j < N; j++) scanf("%d", &B[i][j]); strassen(N, A, B, C); printf("C:\n"); for(int i = 0; i < N; i++) for(int j = 0; j < N; j++) { printf("%d ", C[i][j]); if(j > 0 && j % 3 == 0) printf("\n"); } return 0; }
Strassen演算法雖然把時間代價從O(n3)降到O(n2.81)，但是進一步分析，後者的係數比1大很多，當n比較小（如n<45）且矩陣中非零元素較少時，不宜採用此方法。Strassen演算法僅當n很大的時候才有價值，因此，可以說這方面的研究更偏重於理論價值。