凸集的定義：
對集合 $S$ 任意兩點 $x_1$， $x_2$，以及兩個實數 $\theta_1$， $\theta_2$，並且 $\theta_1+\theta_2=1$， $\theta_1\geq 0$， $\theta_2\geq 0$，都有
$\theta_1 x_1+\theta_2x_2\in S$
則 $S$ 是凸集。

問題：
集合 $S$ 是凸集，這鞥名其中任意 $k$ 個點 $x_1\dots x_k$，以及 $k$ 個實數 ${\theta }_1\dots {\theta }_k$

證明：
數學歸納法。對於 $k=2$ 時，顯然成立。
假設對於 $k=n$ 時成立，下面我們證明 $k=n+1$

因為 $\frac{\theta_2}{1-\theta_1 }+\dots+\frac{\theta_{k+1}}{1-\theta_1 }=\frac{1-\theta_1}{1-\theta_1}=1$，根據 $k=n$ 時成立，上式第二項在凸集 $S$ 中，第一項與第二項的和相當於 $k=2$ 的情況，故也在凸集 $S$ 中。$\quad\Box$