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灰色預測模型GM(1,1) 與例題分析

阿新 • • 發佈：2019-01-06

灰色預測模型

灰色預測的概念

（1）灰色系統、白色系統和黑色系統

  • 白色系統是指一個系統的內部特徵是完全已知的，既系統資訊是完全充分的。
  • 黑色系統是一個系統的內部資訊對外界來說是一無所知的，只能通過它與外界的聯絡來加以觀測研究。
  • 灰色系統介於白色和黑色之間，灰色系統內的一部分資訊是已知的，另一部分資訊是未知的，系統內各因素間有不確定的關係。

（2）灰色預測法

  • 灰色預測法是一種預測灰色系統的預測方法。
  • 灰色預測通過鑑別系統因素之間發展趨勢的相異程度，即進行關聯分析，並對原始資料進行生成處理來尋找系統變動的規律，生成有較強規律性的資料序列，然後建立相應的微分方程模型，從而預測事物未來發展趨勢的狀況。

關聯分析

  關聯分析實際上是動態過程發展態勢的量化比較分析。所謂發展態勢比較，也就是系統各時期有關統計資料的集合關係的比較。

  例如，某地區1977~1983年總收入與養豬、養兔收入資料見下表格。

1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
總收入 18 20 22 40 44 48
養豬 10 15 16 24 38 40
養兔 3 2 12 10 22 18

根據該表格，做曲線圖：

image

  由上圖易看出，曲線 A(總收入)與曲線 B(養豬收入)發展趨勢比較接近，而與 曲線 C(養兔收入)相差較大，因此可以判斷，該地區對總收入影響較直接的是養豬業， 而不是養兔業。

  很顯然，幾何形狀越接近，關聯程度也就越大。當然，直觀分析對於稍微複雜些 的問題則顯得難於進行。因此，需要給出一種計算方法來衡量因素間關聯程度的大小。

灰色生成數列

  灰色系統理論認為，儘管客觀表象複雜，但總是有整體功能的，因此必然蘊含某種內在規律。關鍵在於如何選擇適當的方式去挖掘和利用它。灰色系統時通過對原始資料的整理來尋求其變化規律的，這是一種就資料尋求資料的現實規律的途徑，也就是灰色序列的生產。一切灰色序列都能通過某種生成弱化其隨機性，顯現其規律性。資料生成的常用方式有累加生成、累減生成和加權累加生成。

（1）累加生成（AGO）

  設原始數列為x(0)=(x0(

1),x0(2),….x0(n))，令

x(1)(k)=∑i=1kx(0)(i),k=1,2,...,n x(1)=(x1(1),x1(2),….x1(n))

  稱所得到的新數列為數列x(0)的1次累加生成數列。類似的有

x(r)(k)=∑i=1kx(r−1)(i),k=1,2,...,n,r≥1
  稱為x(0)的r次累加生成數列。

（2）累減生成(IAGO)

  如果原始數列為x(1)=(x1(1),x1(2),….x1(n))，令

x(0)(k)=x(1)(k)−x(1)(k−1),k=2,3,...,n
  稱所得到的數列x(0)為x(1)的1次累減生成數列。 可以看出，通過累加數列的到的新數列，可以通過累減生成還原出原始數列。

（3）加權鄰值生成

  如果原始數列為x(1)=(x1(1),x1(2),….x1(n))，稱任意一對相鄰元素x(0)(k−1),x(0)(k)互為鄰值。對於常數α∈[0,1]，令

z(0)(k)=αx(0)(k)+(1−α)x(0)(k−1),k=2,3,…,n

  由此得到的數列稱為鄰值生成數，權α也稱為生成係數。 特別地，當生成係數α=0.5時，則稱該數列為均值生成數，也稱為等權鄰值生成數。

累加生成的特點

  一般經濟數列都是非負數列。累加生成能使任意非負數列、擺動的與非擺動的，轉化為非減的、遞增的。

image

image

灰色模型GM(1,1)

  灰色系統理論是基於關聯空間、光滑離散函式等概念定義灰導數與灰微分方程，進而用離散資料列建立微分方程形式的動態模型，即灰色模型是利用離散隨機數經過生成變為隨機性被顯著削弱而且較有規律的生成數，建立起的微分方程形式的模型，這樣便於對其變化過程進行研究和描述。

  G表示grey（灰色），M表示model（模型）

  定義x(1)的灰導數為

d(k)=x(0)(k)=x(1)(k)−x(1)(k−1)
  令z

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