正整數的劃分問題是將一個正整數n表示成一系列正整數之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。請編寫至少三種不同的求解演算法，並對所編寫演算法的時間效率進行測試和比較。

解法一：遞迴演算法
考慮增加一個自變數：將最大加數n1不大於m的劃分個數記作q(n,m)，可以建立q(n,m)的如下遞迴關係：
1，q(n,1) = 1, n≥1; 當最大加數n1不大於1時，任何正整數n只有一種劃分形式，即n=1+1+…+1
2，q(n,m) = q(n,n), m≥n; 最大加數n1實際上不能大於n，因此，q(1,m) = 1
3，q(n,n) = 1 + q(n, n-1); 正整數n的劃分由n1 = n的劃分和n1≤n-1的劃分組成
4，q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),n>m>1; 正整數n的最大加數n1不大於m的劃分由n1= m的劃分和n1≤m-1 的劃分組成

正整數n的劃分數p(n)=q(n,n)。

演算法如下：

Java程式碼如下：

package integer_division;

public class Integer_division_1 {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		long startTime = System.currentTimeMillis();
		System.out.println(q(80,80));//列印80的劃分種類數
		long endTime = System.currentTimeMillis();
		System.out.println("程式執行時間："+(endTime - startTime) + "ms");
	}

	public static int q(int n, int m) {
		// TODO Auto-generated method stub
		if ((n == 1)||(m == 1)) 
			return 1;
		if (n < m)
			return q(n,n);
		if (n == m)
			return q(n,m-1)+1;
		return q(n,m-1)+q(n-m,m);
	}

}
 

對程式碼進行例項測試的結果如下：（(a,b,c)中a表示正整數，b表示劃分結果個數，c表示程式的執行時間，單位是毫秒）

（10，42，1）

（30，5604，1）

（50，204226，2）

（70，4087968，14）

（80，15796476，51）

（90，56634173，188）

（100，190569292，570）

（110，607163746，1873）

從程式執行結果看出遞迴演算法的時間複雜度極高，但具體的複雜度函式是什麼呢？

I don't know.

解法三：母函式演算法