正整數的劃分問題是將一個正整數n表示成一系列正整數之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。請編寫至少三種不同的求解演算法，並對所編寫演算法的時間效率進行測試和比較。

解法一：遞迴演算法

解法三：母函式演算法

，

x^mk表示劃分中包含了m個k的情況。正整數n的不同劃分個數的母函式為：

利用函式G(x)求出xⁿ的係數即可。

演算法如下：

Java程式碼如下：

package integer_division;

public class Integer_division_3 {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		long startTime = System.currentTimeMillis();
		System.out.println(p(120));//列印120的劃分種類數
		long endTime = System.currentTimeMillis();
		System.out.println("程式執行時間："+(endTime - startTime) + "ms");
	}

	public static int p(int n) {
        int[] c1 = new int[n+1];
        int[] c2 = new int[n+1];
        for(int i=0; i<=n; i+=1) {
            c1[i] = 1;
            c2[i] = 0;
        }
        for(int i=2; i<=n; i+=1) {
            for(int j=0; j<=n; j+=1) {
                for(int k=0; k+j<=n; k+=i) {
                    c2[j+k] += c1[j];
                }
            }
            for(int j=0; j<=n; j+=1) {
                c1[j] = c2[j];
                c2[j] = 0;
            }
        }
        return c1[n];
	}

}
 

對程式碼進行例項測試的結果如下：（(a,b,c)中a表示正整數，b表示劃分結果個數，c表示程式的執行時間，單位是毫秒）

（10，42，1）

（30，5604，1）

（50，204226，1）

（70，4087968，1）

（80，15796476，1）

（90，56634173，1）

（100，190569292，1）

（110，607163746，1）

（後面的測試例項劃分結果數目過多，故不展示劃分結果數目）

（200，-，3）

（300，-，5）

（400，-，6）

（600，-，8）

（800，-，10）

（1000，-，14）

（1200，-，17）

該演算法的時間複雜度為O(n²lnn)。