遞迴演算法就是通過解決同一問題的一個或多個更小的例項來最終解決一個大問題的演算法。為了在C語言中實現遞迴演算法，常常使用遞迴函式，也就是說能呼叫自身的函式。遞迴程式的基本特徵：它呼叫自身（引數的值更小），具有終止條件，可以直接計算其結果。

      在使用遞迴程式時，我們需要考慮程式設計環境必須能夠保持一個其大小與遞迴深度成正比例的下推棧。對於大型問題，這個棧需要的空間可能妨礙我們使用遞迴的方法。

     一個遞迴模型為分治法，最本質的特徵就是：把一個問題分解成獨立的子問題。如果子問題並不獨立，問題就會複雜的多，主要原因是即使是這種最簡單演算法的直接遞迴實現，也可能需要難以想象的時間，使用動態規劃技術就可以避免這個缺陷。

     例如，斐波那契數列的遞迴實現如下：

    int F(int i)

    {

             if(i < 1)  return 0;

             if(i == 1) return 1;

              return F(i-1) + F(i - 2);

    }

    千萬不要使用這樣的程式，因為它的效率極低，需要指數級時間。相比之下，如果首先計算前N個斐波那契數，並把它們儲存在一個數組中，就可以使用線性時間(與N成正比)計算F。

      F[0] = 0;F[1] = 1;

      for(i = 2; i <= N; i++)

            F[i] = F[i-1] + F[i-2];

     這個技術給了我們一個獲取任何遞迴關係數值解的快速方法，在斐波那契數的例子中，我們甚至可以捨棄陣列，只需要儲存前兩個值。

     由上面的討論我們可以得出這樣的結論：我們可以按照從最小開始的順序計算所有函式值來求任何類似函式的值，在每一步使用先前已經計算出的值來計算當前值，我們稱這項技術為自底向上的動態規劃。只要有儲存已經計算出的值的空間，就能把這項技術應用到任何遞迴計算中，就能把演算法從指數級執行時間向線性執行時間改進。

    自頂向下的動態規劃甚至是一個更簡單的技術，這項技術允許我們執行函式的代價與自底向上的動態規劃一樣(或更小)，但是它的計算是自動的。我們實現遞迴程式來儲存它所計算的每一個值(正如它最末的步驟)，並通過檢查所儲存的值，來避免重新計算它們的任何項(正如它最初的步驟)。這種方法有時也稱作為備忘錄法。

                       斐波那契數（動態規劃）

通過把所計算的值儲存在遞迴過程的外部陣列中，明確地避免重複計算。這一程式計算的時間與N成正比。

                  int F(int i)

                  {

                          if(knownF[i] != unknown)

                                 return knownF[i];

                          if(i == 0) t = 0;

                          if(i == 1) t = 1;

                          if(i > 1)  t = F(i - 1) + F(i - 2);

                          return knownF[i] = t;

                  }

       性質：動態規劃降低了遞迴函式的執行時間，也就是減少了計算所有小於或等於給定引數的遞迴呼叫所要求的時間，其中處理一次遞迴呼叫的時間為常量。

       我們不需要把遞迴引數限制到單整形引數的情況。當有一個帶有多個整形引數的函式時，可以把較小子問題的解儲存在多維陣列中，一個引數對應陣列的一維。其他那些完全不涉及整形引數的情形，就使用抽象的離散問題公式，它能讓我們把問題分解為一個個的小問題。

      在自頂向下的動態規劃中，我們儲存已知的值；在自底向上的動態規劃中，我們預先計算這些值。我們常常選擇自頂向下的動態規劃而不選自底向上動態規劃，其原因如下：

     1 自頂向下的動態規劃是一個自然的求解問題的機械轉化。

     2 計運算元問題的順序能自己處理。

     3 我們可能不需要計算所有子問題的解。

     我們不能忽視至關重要的一點是，當我們需要的可能的函式值的數目太大以至於不能儲存（自頂向下）或預先計算（自底向上）所有值時，動態規劃就會變得低效。自頂向下動態規劃確實是開發高效的遞迴演算法實現的基本技術，這類演算法應納入任何從事演算法設計與實現所需的工具箱。