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指數分佈的期望和方差推導

阿新 • • 發佈：2019-01-07

從前期的文章《泊松分佈》中，我們知道泊松分佈的分佈律是：

P(X(t)=k)=(λt)ke−λtk!
λ是單元時間內事件發生的次數。如果時間間隔t內事件發生的次數為0，則：
P(X>t)=(λt)0e−λt0!=e−λt
反過來，在時間間隔t內發生事件的概率，就是1減去上面的值：
P(X<=t)=1−e−λt
這就變成了時間間隔t在引數λ下的分佈函式。根據概率論知識，我們知道，分佈函式是概率密度函式從負無窮到正無窮上的積分。對上述的分佈函式進行求導，得到：
f(t)=λe−λt
這就是《指數分佈》的概率密度函式。也就是說指數分佈是可以從泊松分佈推匯出來的。

對於指數分佈的期望和方差，推導如下：
首先，指數分佈屬於連續型隨機分佈，因此，其期望E(X)為：

E(X)=∫∞−∞|x|f(x)dx=∫∞0xf(x)dx=∫∞0x⋅λe−λxdx=1λ∫∞0λxe−λxdλx
令u=λx，則：
E(X)=1λ∫∞0ue−udu=1λ[(−e−u−ue−u)|(∞,0)]=1λ
對於指數分佈的方差D(X)：
D(X)=E(X2)−(E(X))2
其中：
E(X2)=∫∞−∞|x2|f(x)dx=∫∞0x2f(x)dx=∫∞0x2⋅λe−λxdx
E(X2)=1λ2∫∞0λxλxe−λxdλx
令u=λx，則：
E(X2)=1λ2∫∞0u2e−udu=1λ2[(−2e−u−2ue−u−u2e−u)|(∞,0)]=1λ2⋅2=2λ2
所以：
D(X

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