二項分佈是概率統計裡面常見的分佈，是指相互獨立事件n次試驗發生x次的概率分佈，比較常見的例子。種子萌發試驗，有n顆種子，每顆種子萌發的概率是p，發芽了x顆的概率就服從二項分佈。
如果還是迷茫，就聽我說說故事，在古代，大概明末清初的時候，瑞士有個家族，叫伯努利家族，出了很多數學家，有一位叫詹姆斯·伯努利(James Bernoulli)的，比較喜歡做試驗，他的試驗有特點，是一系列的試驗，沒發生就是失敗，而且每次的成功概率都是p，若果失敗了就是q=(1-p)，只有這兩種情況，後來人們給了這除了成功就是失敗的性質一個比較抽象的名稱，叫相互對立事件。在這些試驗中，每次得出的結果與其他次試驗都不發生關係，同樣人們也給了這種不發生關係的性質一個比較抽象的名稱，叫相互獨立事件，同時把這種試驗叫做伯努利試驗。在n次伯努利試驗中，發生x次的概率滿足二項分佈。
如果令q=(1-p)，那麼很容易得出發生x次的概率為C{x，n}*p^x*q^(n-x)，因為決定該分佈的只有n、p，所以為了簡單起見，人們把x服從n，p的二項分佈記做x～B(n，p)。
現在的目標是計算二項分佈的期望和方差，在網上尋找二項分佈的期望和方差大都給一個結果，np、npq，很難找到它是怎麼來的。好不容易查到，還是花錢才能看的，就那幾步過程，有必要藏著蓋著嗎？今天我把過程寫出來，讓大家都瞭解瞭解，都是原創，互相學習，希望支援。
首先，不厭其煩地說一下期望與方差的關係，以便清晰思路。期望用E表示，方差用D表示，一般把自變數記做ξ，如果對於結果為ξ的概率為Pξ那麼，其期望為Eξ=∑ξ*Pξ，方差為Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，另外還有一個常見的量叫做標準差，一般用σ表示，σξ=√Dξ，根據方差的概念，可知：
Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ
=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ
=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)
=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ∑Pξ

ξ
因為∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ
所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2
而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)
所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2
下面計算數學期望,
Eξ=∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)
=∑{ξ =0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)
=∑{ξ =1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)
=n*p*∑{ξ =1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)
=n*p*(p+q)^(n-1)
=n*p
如果要計算方差，根據公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2可得出結果，過程如下，
Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2
=∑{ξ =0，n}ξ^2*C{ξ，n}p^ξ *q^(n-ξ) － n*p∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)
=n*p*∑{ξ =1，n}ξ(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1) *q^(n-ξ) － n*p∑{ξ =1，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)
=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)q^(n-ξ)ξ*(C{ξ-1，n-1}－C{ξ ，n}＋C{ξ ，n}*q)
=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)q^(n-ξ)ξ*[C{ξ ，n}*q－(C{ξ ，n}－C{ξ-1，n-1})]
=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)q^(n-ξ)ξC{ξ ，n}*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)ξ*C{ξ，n-1}]
=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]
=n*p*[∑{ξ =1，n}n*q*C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－
∑{ξ =1，n-1}(n-1)*q*C{ξ-1，n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]
=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)－(n-1)q(p+q)^(n-2)]
=n*p*[n*q－(n-1)*q]
=n*p*q
以上就是二項分佈的期望與方差的證明，過程比較簡單，就是一個思路，要想更深入的領悟，就須要自己親自地證明一遍了，也許你的方法將會更簡單……