磚塊Klo bzoj-1112 POI-2008

題目大意：$N$柱磚,希望有連續$K$柱的高度是一樣的. 你可以選擇以下兩個動作 1:從某柱磚的頂端拿一塊磚出來,丟掉不要了. 2:從倉庫中拿出一塊磚,放到另一柱.倉庫無限大. 現在希望用最小次數的動作完成任務.

註釋：$1\le k\le n\le 10^5$，$0\le height_i\le 10^6$。

想法：

如果我們想讓以$i$為左端點的連續$k$柱合法，

假設最後的高度是$H$，那麼我們的代價就是：

$\sum\limits_{j=i}^{i+k-1} |h_j-H|$。

顯然當$H$為這$k$個數的中位數的時候當前區間的代價最小。

至此，我們就可以弄一個平衡樹。

每次加入$i+k$然後把開頭的$i$刪去，求出當前區間的中位數更新答案即可。

Code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 100010 
using namespace std; typedef long long ll;
struct Node
{
	int ls,rs,size; ll sum,val,key;
}a[N];
struct par {int x,y;};
ll num[N]; int root,cnt;
inline char nc() {static char *p1,*p2,buf[100000]; return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
ll rd() {ll x=0; char c=nc(); while(!isdigit(c)) c=nc(); while(isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=nc(); return x;}
inline int newnode(ll val)
{
	int x=++cnt;
	a[x].size=1; a[x].ls=a[x].rs=0;
	a[x].val=a[x].sum=val; a[x].key=rand()*rand();
	return x;
}
inline void pushup(int x)
{
	int ls=a[x].ls,rs=a[x].rs;
	a[x].size=1; a[x].sum=a[x].val;
	if(ls) a[x].size+=a[ls].size,a[x].sum+=a[ls].sum;
	if(rs) a[x].size+=a[rs].size,a[x].sum+=a[rs].sum;
}
int merge(int x,int y)
{
	if(!x||!y) return x|y;
	if(a[x].key>a[y].key)
	{
		a[x].rs=merge(a[x].rs,y); pushup(x);
		return x;
	}
	else
	{
		a[y].ls=merge(x,a[y].ls); pushup(y);
		return y;
	}
}
par split(int x,int k)
{
	if(!k) return (par){0,x};
	int ls=a[x].ls,rs=a[x].rs;
	if(k==a[ls].size)
	{
		a[x].ls=0; pushup(x);
		return (par){ls,x};
	}
	else if(k==a[ls].size+1)
	{
		a[x].rs=0; pushup(x);
		return (par){x,rs};
	}
	else if(k<a[ls].size)
	{
		par t=split(ls,k);
		a[x].ls=t.y; pushup(x);
		return (par){t.x,x};
	}
	else
	{
		par t=split(rs,k-a[ls].size-1);
		a[x].rs=t.x; pushup(x);
		return (par){x,t.y};
	}
}
par split_val(int x,int val)
{
	if(!x) return (par){0,x};
	int ls=a[x].ls,rs=a[x].rs;
	if(a[x].val>=val)
	{
		par t=split_val(ls,val);
		a[x].ls=t.y; pushup(x);
		return (par){t.x,x};
	}
	else
	{
		par t=split_val(rs,val);
		a[x].rs=t.x; pushup(x);
		return (par){x,t.y};
	}
}
void delet(ll val)
{
	par t1=split_val(root,val),t2=split(t1.y,1);
	root=merge(t1.x,t2.y);
}
void insert(ll val)
{
	par t1=split_val(root,val);
	root=merge(t1.x,merge(newnode(val),t1.y));
}
void output(int x)
{
	int ls=a[x].ls,rs=a[x].rs;
	if(ls) output(ls);
	printf("%lld ",a[x].val);
	if(rs) output(rs);
}
int main()
{
	srand(12378);
	int n=rd(),k=rd(); for(int i=1;i<=n;i++) num[i]=rd();
	for(int i=1;i<=k;i++) insert(num[i]);
	int id=(k+1)/2;
	par t1=split(root,id-1),t2=split(t1.y,1);
	ll ans=(a[t2.x].val*a[t1.x].size-a[t1.x].sum)+(a[t2.y].sum-a[t2.x].val*a[t2.y].size);
	int dic=k,dic_val=a[t2.x].val;
	root=merge(t1.x,merge(t2.x,t2.y));
	for(int i=k+1;i<=n;i++)
	{
		insert(num[i]); delet(num[i-k]);
		// printf("%d : ",i); output(root); puts("");
		par t1=split(root,id-1),t2=split(t1.y,1);
		ll now=(a[t2.x].val*a[t1.x].size-a[t1.x].sum)+(a[t2.y].sum-a[t2.x].val*a[t2.y].size);
		if(now<ans) dic=i,ans=now,dic_val=a[t2.x].val;
		root=merge(t1.x,merge(t2.x,t2.y));
	}
	for(int i=dic-k+1;i<=dic;i++) num[i]=dic_val;
	printf("%lld\n",ans);
	// for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld\n",num[i]);
	// puts("");
	return 0;
}

 小結：平衡樹的應用還是較為廣泛的。