原題鏈接

題意簡述

給出一個\(n(n \leq 10^5)\)個數的序列\(a(max\{a\}\leq10^6)\)，每次給一個數+1/-1。求使得序列中存在連續\(k(k \leq n)\)個相等的數至少要操作幾次。

分析

題目實際上求的是\(|x_1-h|+|x_2-h|+...+|x_k-h|\)的最小值，其中\(x\)是\(a\)的一個長度為\(k\)的子串。
易知\(h\)為序列\(x\)的中位數時原式取得最小值，那我們的任務就是求區間中位數咯。

證明

記序列\(x\)中小於\(h\)的有\(c_1\)個，大於\(h\)的有\(c_2\)個。
因為當\(h\)增大\(\Delta h\)

，原式就增大\(\Delta h \times c_1 - \Delta h \times c_2\)；
所以當\(c_1<c_2\)時，\(h\)越大原式越小；\(c_1>c_2\)時，\(h\)越大原式越大。
\(c_1=c_2\)時原式取得最小值，此時\(h\)為序列\(x\)的中位數。

因為\(max\{a\}\leq10^6\)可以開數組，我們用樹狀數組實現。
維護\(x\)中小於等於\(i\)的數的個數\(cnt[i]\)，小於等於\(i\)的數的和\(sum[i]\)。首先通過二分找出中位數\(h_0\)，則原式的最小值為\[h_0 \times cnt[i]-sum[i] + h_0 \times (k-cnt[i]) \times (\Sigma{x_i}-sum[i])\]

實現

開兩個樹狀數組分別維護\(cnt[i],sum[i]\)。

代碼

//[POI2008]鐮栧潡Klo
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long lint;
int const N=1e5+10;
int const M=1e6+10;
lint const INF=1LL<<62;
int n,k,a[N];
int maxH; lint s[N];
lint tr[M],trs[M];
void
 
 add(int x,int f)
{
    int x1=x;
    while(x1<=maxH) tr[x1]+=f,x1+=x1&(-x1);
    x1=x;
    while(x1<=maxH) trs[x1]+=f*x,x1+=x1&(-x1);
}
lint sum1(int x)
{
    lint res=0;
    while(x>0) res+=tr[x],x-=x&(-x);
    return res;
}
lint sum2(int x)
{
    lint res=0;
    while(x>0) res+=trs[x],x-=x&(-x);
    return res;
}
lint sol(int fr)
{
    int L=0,R=maxH;
    while(L<R)
    {
        int mid=(L+R)>>1;
        if(sum1(mid)<(k+1)/2) L=mid+1;
        else R=mid;
    }
    lint h=L,c1=sum1(h),c2=k-c1;
    lint s1=sum2(h),s2=s[fr+k-1]-s[fr-1]-s1;
    return (c1*h-s1)+(s2-c2*h);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),a[i]++;
    for(int i=1;i<=n;i++) maxH=max(maxH,a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+a[i];
    lint ans=INF;
    for(int i=1;i<=k;i++) add(a[i],1);
    ans=min(ans,sol(1));
    for(int i=2;i<=n-k+1;i++)
    {
        add(a[i-1],-1); add(a[i+k-1],1);
        ans=min(ans,sol(i));
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

註意

要開long long
原數列中可能有0，先給全體+1s+1

BZOJ1112 - [POI2008]磚塊Klo