Bellman-Ford 演算法

圖G=(V,E)，選取s∈V作為圖的原點，此演算法可計算最短路徑δ(s,v)（v∈V）或報告出圖中存在負權值的環路。

Exercise

在路徑中存在負權值的環路時，將δ(s,v)設定為-∞。

Bellman-Ford 演算法偽碼

d[s] ← 0
for each v∈V-{s}
    d[v] ← ∞
for i ← 1 to |V|-1
    for each edge(u,v)∈E
        if d[v] > d[u]+w(u,v)
            d[v] ← d[u]+w(u,v) //鬆弛步驟
for each
 
 edge(u,v)∈E
    if d[v] > d[u]+w(u,v)
        報告圖中存在負權值的環路
    else
        δ(s,v)=d[v]

執行時間Time=O(V·E)。

• Ex：
  
  注：每次選取邊的順序可以是都不一樣的，這裡為了簡單描述都採取了一樣的順序。

Bellman-Ford 演算法正確性

線性規劃（Linear Programming）

• 給定一個m x n階的矩陣A，一個m階的向量b和一個n階的向量c，目標是找到一個n階的向量x，能夠最大化cT·x且滿足約束條件Ax<=b，或是說明沒有符合要求的x存在。
• 圖解：
  

線性規劃問題解法

單一演算法（simplex algorithm）：
    最古老的演算法，最壞情況下執行時間為指數階的，但在實際使用中效果還不錯。
橢球演算法（ellipsoid algorithm）：
    理論上是第一個在多項式時間內解決線性規劃的演算法，但在實際使用中效果差。
內點法（interior point method）：
    在多項式時間內解決線性規劃，在實際使用中也很實用。
隨機抽樣（random sampling）：
    兩位MIT教授發明的演算法，理論上效果不錯。

線性可行性問題

找到x滿足約束條件Ax<=b，而不用最大化cT·x（找到可行解即可）。
此問題的複雜度並不比線性規劃問題低。
 

差分約束系統（System of difference constraints）：

一個差分約束系統是一個線性可行性問題，矩陣A的每一行只有一個1，一個-1，其他值都為0。

即每一個描述約束條件的不等式都只包含兩個變數和一些數字，xj-xi<=wij。

• Ex：

  • 問題：
    x1-x2<=3
    x2-x3<=-2
    x1-x3<=2
  • 解：
    x1=3
    x2=0
    x3=2

• 約束圖：
  將xj-xi<=wij轉化為：
  
  由此可知轉化後的圖G=(V,E)，|V|=n，|E|=m。
  與xj<=xi+wij類似的形式d[vj]<=d[vi]+wij。

Ex：

• 定理：
  如果約束圖存在負權值的環路，那麼相應的差分約束系統無解。
  證明：
  假設v1 → v2 → … → Vk → V1是一個負權值的環路。
  則有：
  x2-x1<=w12
  x3-x2<=w23
  .
  .
  .
  x1-xk<=wk1
  左側相加為0，右側相加為負數，從而證明了差分約束無解。

• 定理：
  如果約束圖不存在負權值的環路，那麼相應的差分約束系統有解。
  證明：
  在約束圖G中加入一個新的頂點s，並加入從頂點s到其他所有頂點的邊，權值都設為1。
  
  這樣就可以在此圖上執行Bellman-Ford演算法求最短路徑。

設xi=δ(s,vi)
要滿足xj-xi<=wij
即證δ(s,vj)-δ(s,vi)<=w(vi,vj)
    δ(s,vj)<=δ(s,vi)+ w(vi,vj)
由反正法此式可知顯然成立，即Bellman-Ford演算法求得的鍵值即為可行解。

• 差分約束系統時間：
  使用Bellman-Ford演算法，執行時間為O(m·n)。

• Exercise：
  使用Bellman-Ford演算法獲得的差分約束系統的解，滿足xi<=0，xj-xi<=wij，且得到的是Max(x1+x2+…+xn)和Min(max xi – min xi)（儘可能的密集）的解。
  最小化了線性規劃範數。

VLSI佈局問題

將一堆電路零件放在一起，要求它們之間有個距離限制。

一維上的佈局可抽象成差分約束問題，進而使用Bellman-Ford演算法求得儘可能緊湊的積體電路佈局方案。

• 其他應用：
  例如視訊剪輯方案的制定。