高等數學總結(無窮級數)
2)收斂級數的性質:
A)Un收斂於s,則kUn也收斂於ks:級數的每一項都乘以一個非零常數k,不改變級數的收斂性。
B)級數A,B收斂於a,b,則級數A+B(A-B)收斂於a+b(a-b);兩個收斂級數可以逐項相加(相減).
C)在級數中除掉、加上或者改變有限項,不改變級數的收斂性。
D)對於收斂級數A,如果對級數項任意新增括號形成的級數仍然收斂,且和不變;注意:加括號不改收斂性,但去括號則不一定了;
E)如果級數A收斂,則A的一般項趨於0.
3)柯西審斂定理:
級數收斂的充分必要條件是:對任意給定的ε,總存在正整數N,使得n>N的p項之和的絕對值小於
ε.
4)正項級數的收斂:
A)如果正項級數的部分和有界,則級數收斂;
B)比較審斂定理:An<Bn,如果B收斂,則A收斂,如果A發散,則B發散;
C)比較審斂的極限形式
E)比值審斂法(達郎貝爾判別法):Un+1/Un=p,如果p<1則收斂,p>1 發散,p=1則不定。
F)根值審斂:
G)極限審斂法:nUn的極限為l,則發散;n^p * Un 的極限為l,l>=0,p>1,Un收斂.
5)交錯級數的審斂:
A)萊布尼茲定理:對於級數:Σ(-1)^(n-1) * Un滿足:Un極限為0和Un>=Un+1,則級數收斂.
6)絕對收斂和條件收斂:
A)級數絕對收斂,則必然收斂;
B )兩個級數收斂s1,s2,則兩個級數的柯西乘積收斂於s1*s2;
7)函式項級數:
8)冪級數:
A)阿貝爾定理:如果級數P=ΣAn*x^n在x0處收斂,則P在|x|<|x0|處都收斂;如果P在x0處發散,則P在|x|>|x0|處都發散;An是級數項的係數。
B)收斂半徑p:Lim|(an/a(n-1))|=k,如果k>0,則p=1/k.如果k=0,則p是無窮大,如果k等於無窮大,則收斂半徑為0.
C)逐項積分,逐項求導。和函式連續。
9)泰勒級數和泰勒展開式:
函式的泰勒展開式,右邊是泰勒級數。
二項式展開:
應用:近似計算,微分方程的冪級數解法,尤拉公式
10)冪級數的一致性收斂
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