圖論(一)--基礎概念
§頂點&邊
問題引入
七橋問題
問題描述:
18世紀著名古典數學問題之一。在 哥尼斯堡的一個公園裡,有七座橋將 普雷格爾河中兩個島及島與河岸連線起來(如圖)。問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發,恰好通過每座橋一次,再回到起點?尤拉於1736年研究並解決了此問題,他把問題歸結為如右圖的“ 一筆畫”問題,證明上述走法是不可能的。圖論基礎知識——頂點
通過上文的故事版和正經版的對比,可以很容易得看出,頂點也就是問題引入中的四塊陸地——即,河的兩岸,兩個小島。
那麼,拋開這個問題,頂點又是什麼呢?
頂點在上述問題中就是所謂的
頂點(vertex)的首字母是V,所以就理所當然的,用V來代表頂點。
頂點,毫無疑問,是一個點,這個點可以有一條邊,也可以有n條邊。
圖論基礎知識——邊
所謂邊,也就是上面例子裡提到的七座橋。
邊(edge),因首字母為E,故簡記為E。
在圖論中,一般,我們用G來表示圖,具體原因……還是因為圖的英文首字母是G……
所以,一個圖常常寫作G=(V,E)。
我們可能還會見到這樣的寫法:
V={a,b,c……}
E={e1,e2,e3……}
這裡就是集合的形式了,也就是把所有的頂點和邊都分別裝到兩個分別叫V和E的塑料袋裡
→一個圖是一個有序的二元組<V,E>,記作G,其中:
(1) 是有限非空集合,稱為 頂點集,其元素稱為頂點或結點。 (2) 是有限集合,稱為 邊集,E中每個元素都有V中的結點對與之對應,稱為邊。 邊e既可以是有向的,也可以是無向的。有向邊與有序結點對 對應,這時稱u為e的起點,v為e的終點。無向邊與無序結點對 對應,u,v稱為e的兩個端點。要注意:元素不能重複
也就是同一個元素只能出現一次
採用圖這一名稱,是因為他們可以用圖形來表示,而這種圖形表示有助於人們理解圖的許多性質。圖論中的大多數定義和概念是根據圖形表示提出來的。如果頂點v是邊e的一個端點,則稱邊e和頂點v相關聯(Incident),反之亦然。對於頂點u和v,若(u,v)∈E,則稱u和v是鄰接或相鄰(Adjacent)的;若兩條邊有共同的頂點,則也稱這兩條邊是相鄰的。
兩個端點重合的邊(度=2),稱為環(Loop),端點不重合的邊稱為連桿(Link)。關聯於同一對頂點的兩條或兩條以上的邊稱為多重邊(Multiple Edge)。
§有向圖&無向圖
問題引入
首先,請大家回憶一下高中的知識——向量,當時我們老師是這麼解釋的,向量就是有方向的量。
什麼是有方向的量?直觀感受就是帶有箭頭的線段,更直接的說法就是比起標量,向量多了方向。
再換個角度,看看向量的近義詞——向量。無論是高中物理還是初中物理都提到了一個概念——力,然後還有一種常見的入門題(受力分析):
這裡,那個帶著箭頭的G就是有向圖(雖然只有兩個頂點和一條邊)。而我們常見的圖形很多都屬於無向圖,比如上面提到的七橋問題。
如果還是覺得抽象,就聯想一下單行道(只允許一個方向通行)——這個即為有向圖,
那種雙向N車道就可以稱為是無向圖的邊(手動滑稽)
§度&圖的同構
在無向圖中,某個頂點的度是鄰接到該頂點的邊(或弧)的數目。 在有向圖中,度還有"入度"和"出度"之分。
某個頂點的入度,是指以該頂點為終點的邊的數目。而頂點的出度,則是指以該頂點為起點的邊的數目。
頂點的度=入度+出度。 而小鬼圖就是無向圖,也就是——沒有方向的圖。 先談幾點注意: ①若起點與終點重合,即邊g和邊l(稱為——環),則該點(H點和F點的度不是加1而是加二)
②度常用deg(V)來表示,其中V代表的是頂點的名字。舉個栗子:deg(A)=1,deg(B)=1,deg(H)=5,deg(L)=6,deg(D)=5,deg(G)=5,deg(K)=2,deg(I)=1,deg(J)=3……以此類推。 ③ ④一個邊肯定最多有兩個頂點,而這條邊要不然使這兩個點的度都增加1要不然使一個點的度增加2(舉個栗子,剛剛提到的環) ⑤若G是一般圖(n階),則: 1.它所有點頂點的度的和為偶數 2.奇點(度為奇數的頂點——同理,偶點就是度為偶數的頂點)的個數是偶數個 ⑥度序列: 舉個栗子,還是剛剛的小鬼圖
它的度序列為{6,5,5,5,5,5,3,2,2,1,1,1,1}
很容易看出,這個所謂度序列也就是把所有的度都寫到一個集合裡然後按降序排列。
⑦
把度為0的頂點稱為孤立點(Isolated Vertex),度為1的點稱為懸掛點(Pendant Vertex),度為偶數的點稱為偶點(Even Vertex),度為奇數的點稱為奇點(Odd Vertex)。分別用δ(G)和Δ(G)表示G中頂點的最小度(Minimum Degree),和最大度(Maximum Degree)。
定義①:如果一個圖中的每個頂點的度是某一固定整數k,則稱該圖是k-正則圖(k-regular)。正則圖中δ(G)=Δ(G)。圖1-12所示為1-正則圖和3-正則圖。
定理②:(握手引理),對每一個圖G=(V,E),均有:
顯然,任何圖中所有頂點的度的和必為偶數。====》③
圖的同構
什麼是同構呢?
假設,我們有兩張圖G1和G2
G1=(V1,E1)
G2=(V2,E2)
①若V1 V2之間有一個雙射(一一對映)θ
θ:
V1→V2
②滿足x1,y1在G1中鄰接←→x2,y2在G2中鄰接
下面通過圖片說明:
這就是一個同構的栗子
θ:
a→u
b→v
c→w
d→x
---------------------------解釋一下-------------------------- 頂點a對映到頂點u——a的度為3,u的度也為3,a與bcd鄰接,而u也與bcd對應的vwx鄰接 ----------------------------------------------------------------------
好了,我們再舉一個例子:
我們還按照上面的方法構造
θ:
a→u
b→v
c→w
d→x
這樣不同構如果按照
b→w
c→v呢
(^U^)ノ~YO==》這兩個圖還是同構的。
下面補充一個結論:
同構要求: ①點數一樣多,邊數一樣多 ②度序列相同 (點數邊數一樣多不一定同構,同樣度序列相同也未必同構) 以上要求全部滿足才稱為同構,否則必有不同構。 大家可以自己動手畫畫圖,這兩個條件都是很好找反例的。 轉自:https://blog.csdn.net/Karen_Yu_/article/details/78776354§頂點&邊
問題引入
七橋問題
問題描述:
18世紀著名古典數學問題之一。在 哥尼斯堡的一個公園裡,有七座橋將 普雷格爾河中兩個島及島與河岸連線起來(如圖)。問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發,恰好通過每座橋一次,再回到起點?尤拉於1736年研究並解決了此問題,他把問題歸結為如右圖的“ 一筆畫”問題,證明上述走法是不可能的。圖論基礎知識——頂點
通過上文的故事版和正經版的對比,可以很容易得看出,頂點也就是問題引入中的四塊陸地——即,河的兩岸,兩個小島。
那麼,拋開這個問題,頂點又是什麼呢?
頂點在上述問題中就是所謂的