概述

        抽象與概括是數學思想方法的最基本內容之一。

        抽象指在認識事物的過程中，捨棄那些個別的、偶然的非本質屬性，抽取普通的、必然的本質屬性，形成科學概念，從而掌握事物的本質和規律。

        概括指的是在認識事物的過程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本質的屬性聯絡起來，整理推廣到同類的全體事物，從而形成這類事物的普遍概念。

        1.抽象方法

        一般的，人在思維過程中把客觀事物某一些放馬的特徵與其它特徵分開來給予單獨考慮的。抽象是與具體相對應的概念，具體指的是事物的多種規定性的總和，因而抽象可以理解為在具體事物的多種性質中捨棄一些性質，而“固定”另一些性質的思維活動。此處的“固定方法”指的是概念、範疇、判斷和理論等思維形式，也就是抽象方法。

        抽象對於幫助認識現實世界有重要的意義，對數學知識的學習也很重要。我們說的數學深深地影響現實世界時，所指的就是抽象的思維過程和抽象的思維方法對我們描述現實世界的改善。在數學學習的過程中，“抽象的過程”、“抽象的方法”對我們理解和應用數學知識方面有很大的促進。

        2.抽象過程

        人們在思維的過程中，抽象過程是通過一系列的比較和區分、捨棄和抽取的思維操作實現的。

        比較：異同點比較；

        區分：將比較得到的異同點進行分類；

        捨棄：不考慮某些性質

        抽取：將我們所需要的物件的性質固定下來，並用詞語表達出來。這就完成了一個抽象過程，產物就是這個名詞概念。

        比較的四個規則：

        （1）只有具備確定聯絡或者比較有意義的物件才能進行比較；

        （2）比較的標準統一

        （3）比較應該在一定的程式進行，並在有限步內得出結果。

        （4）對同一性質的比較，應該在所研究的所有物件之間進行。

        捨棄和抽象

        比如5除以所有自然數，可以比較區分出餘數為1,2,3,4和整除的分類，如果我們在計算機程式設計的過程中，只需要

餘數這個概念，則進行捨棄商這個概念，只抽取餘數的概念。得到“模5的餘數”，再進一步抽象則得到“模n的餘數”。

        3.數學抽象的特徵

        （1）無物質性

        數學抽象只有數與形，沒有了物質性質。比如一個西瓜，只有質量大小數，形狀數，尺寸數等

        （2）層次性

        數學概念是數學抽象的結果，不同的數學概念具有不同的抽象層次。

        比如，整數1,2,3....，可以繼續抽象為二進位制的位0,1

        （3）數學抽象的過程需要用到分析和直覺

         分析性抽象：物件--->（分離-->提純-->簡略）-->概念。

        直覺型抽象：不通過分析過程而一下子抓住事物的本質特徵的一種抽象過程。

        （4）數學抽象除了概念抽象，還包括方法的抽象

         比如“消元替代法”抽象為行列式，進行行列式求解。

        4.常用的數學抽象方式

        任何抽象都是依賴於所研究的物件的性質、特點和研究它的目的。

        （1）弱抽象

        又稱為“概念擴張式抽象”，指的是由原型中選取某一個特徵或者側面加以抽象，從而形成比原型更加一般的概念和理論。

        （2）強抽象

        指的是通過把一些新的特徵加入某一概念而形成的新概念的抽象過程。

        （3）理想化抽象

         從數學研究角度出發，構造出的理想化的概念。

        （4）公理化抽象

         處於邏輯的需要，建立的公式

        （5）可實現性抽象

        將現實世界中難以實現的物件成為可能。比如，“極限”，“無窮小量”等。