[數字訊號處理]使用窗函式設計FIR濾波器
1.設計引數
首先，先明白幾個概念。通帶，阻帶，過渡帶，通帶紋波和阻帶紋波分別是什麼？看下圖，
範圍
通常的濾波器的設計，都會指明這幾個引數，最後設計的濾波器，必須滿足這幾個引數。當然，這裡舉得例子是低通濾波器的，高通或者帶通，就與之相反了。
2.理想FIR低通濾波器
首先，先由理想低通濾波器為出發點開始考慮。理想低通濾波器的頻響如下所示
這裡的
先由理想的濾波器出發，求其理想濾波器的單位衝擊響應。得到了單位衝擊響應，也就得到了濾波器的係數。這樣，我們就設計出了一個理想的濾波器。這是一個完美的想法，那麼開始動手吧，尋找他的單位衝擊響應。運用離散時間的傅立葉逆變換，有如下的式子。
由此，我們得到了一個單位衝擊響應的表示式（sinc是辛格函式），到這我們就可以設計出一個理想的濾波器了嗎？好吧，讓我們再確認一遍。第一，這個式子是離散的。對於單位衝擊響應，本來就應該是離散的，沒有錯，很好，我們距離理想濾波器又近了一步。第二，這個式子所求出的單位衝擊響應的個數，很不幸！個數是無限的。到這裡，我們基本可以確定了，理想濾波器是實現不了的。
雖然理想濾波器是實現不了的，但是我們可以退一步，從無限的理想濾波器的單位衝擊響應中，在選擇一部分衝擊響應，構成一個不太理想的，但又達到一定標準的濾波器。我們只能“將就”著使用這個不太理想的濾波器，那麼接下來還有一個問題，我們要如何從無限的數列中選擇出有限的一部分，從而達到我們的設計要求。
3.窗函式
首先，我們先考慮最簡單的情況。對於理想單位衝擊響應而言，其形狀大概和一個高斯分佈很像（當然，只是很像，n=0時候，單位衝擊響應的值最大，由兩邊慢慢減少。當然，可能也出現負值。）！所以，我們為了能使得濾波器的效能接近理想濾波器，那麼，我們選擇其最主要的部分，也就是，值較大的部分。其餘部分則放棄。根據之前的敘述，我們可以使用如下式子表示。
這個式子確實可以幫助我們選擇一部分有限的數列。而這個式子，被稱為矩形窗。可以看出，Ｎ越大，效能越街進理想濾波器。這裡Ｎ稱為窗函式的長度。
這就是我們選定的視窗，然後我們把視窗函式加上，也就是加窗！其實也就一個乘法，如下所示。
這樣，也就完成了一個加窗。
但是，在實際的實踐過程中，很少用矩形窗的。其原因是，矩形窗的阻帶衰減不夠，僅僅只有21[dB]。於是，各種各樣的視窗就被提出了。各有各的特點，在我們所學的初步的設計中，我們就僅僅看阻帶衰減就夠了。各種窗函式的效能如下。
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窗函式 過渡帶大小 阻帶衰減
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矩形窗 1.8π/N 21[dB]
漢寧窗 6.2π/N 44[dB]
漢明窗 6.6π/N 53[dB]
布萊克曼窗 11π/N 74[dB]
4.用窗函式實現一個FIR濾波器
以上說了很多有關於窗函式的原理，現在來整理一下設計的步驟。
1.根據設計的規格，引數要求，我們選擇一個適合的窗函式。這裡主要我們還是看阻帶衰減，阻帶衰減要大於給定的值。一般，若沒有給定阻帶衰減，我們則需要通過通帶紋波和阻帶紋波去求，如下。
2.根據要求的通帶邊緣頻率和阻帶起始頻率，計算過度區的大小，從而計算出窗函式的長度。
3.最後，根據窗函式和理想濾波器的單位衝擊響應，計算出我們所需要的濾波器的單位衝擊響應。
現在，我們來實戰一下，假設我們需要設計如下濾波器。
規格中，沒有給定阻帶衰減，我們只能自己計算。
這裡，阻帶衰減為40.8[dB]，我們選擇的窗的阻帶衰減不能比這個小，這裡其實漢寧窗就可以做到。但我還是選擇用漢明窗去做。然後，計算窗長度。
窗長度有了，計算單位衝擊響應吧。
這樣，我們就得到了一個FIR濾波器。下面是我們計算出來的這個濾波器的單位衝擊響應。
5.寫在最後的話
到此，我們“設計”出了一個濾波器，我們也順利的得出了它的單位脈衝響應。
但是，濾波器真的可以實現麼？真的可以設計出這樣一個濾波器麼？
我覺得要拿著這個單位脈衝響應結果，去實際計算一下，才能發現，這樣的濾波器是實現不了的！拿教科書上的話來說，這個濾波器是非因果的！