Median of Two Sorted Arrays(兩個有序陣列的中位數)

【難度：hard】
There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).
給定兩個有序陣列nums1和nums2，大小分別為m和n，找到他們的中位數，時間複雜度上限為O(log (m+n))。

解題思路

本題若沒有限制時間複雜度為O(log(m+n))的話，對兩個陣列使用歸併排序，很容易可以找到他們的中位數，所用時間複雜度為O(m*n)。但是要將時間複雜度降為O(log(m+n))，就需要嘗試對兩個陣列同時進行二分查詢，逐步排除掉不可能出現中位數的區間，最後找到所求的中位數。這種解法的主要思想就是：
如果陣列a的中位數小於陣列b的中位數，那麼整體的中位數只可能出現在a的右區間加上b的左區間之中；
如果陣列a的中位數大於等於陣列b的中位數，那麼整體的中位數只可能出現在a的左區間加上b的右區間之中。
關鍵就是利用分治的思想逐漸縮小a的區間和b的區間來找到中位數。

c++程式碼如下：

//歸併排序
class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {

        int m = nums1.size();
        int n = nums2.size();
        if (nums1.empty()) {
            if (n%2 != 0)
                return 1.0*nums2[n/2];
            return
 
 (nums2[n/2]+nums2[n/2-1])/2.0;
        }
        if (nums2.empty()) {
            if (m%2 != 0)
                return 1.0*nums1[m/2];
            return (nums1[m/2]+nums1[m/2-1])/2.0;
        }
        int i = 0;
        int j = 0;
        vector<int> ans;
        while (i < m && j < n) {
            if
 
 (nums1[i] <= nums2[j]) {
                ans.push_back(nums1[i]);
                i++;
            } else {
                ans.push_back(nums2[j]);
                j++;
            }
        }
        if (i < m) {
            for (; i < m; i++)
                ans.push_back(nums1[i]);
        } else if (j < n) {
            for (; j < n; j++)
                ans.push_back(nums2[j]);
        }
        int len = ans.size();
        if (len%2 != 0)
            return 1.0*ans[len/2];
        return (ans[len/2]+ans[len/2-1])/2.0;
    }

};

//二分查詢
class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {

        int m = nums1.size();
        int n = nums2.size();
        if (nums1.empty()) {
            if (n%2 != 0)
                return 1.0*nums2[n/2];
            return (nums2[n/2]+nums2[n/2-1])/2.0;
        }
        if (nums2.empty()) {
            if (m%2 != 0)
                return 1.0*nums1[m/2];
            return (nums1[m/2]+nums1[m/2-1])/2.0;
        }

        int total = (m+n+1)/2;
        int total2 = (m+n+2)/2;

        return (find_kth(nums1,0,nums2,0,total)+find_kth(nums1,0,nums2,0,total2))/2.0;
    }
    double find_kth(vector<int> a, int a_begin, vector<int> b, int b_begin, int k) {
        if (a_begin > a.size()-1)
            return b[b_begin+k-1];
        if (b_begin > b.size()-1)
            return a[a_begin+k-1];
        if (k == 1)
            return min(a[a_begin],b[b_begin]);

        int mid_a = INT_MAX;
        int mid_b = INT_MAX;
        if (a_begin+k/2-1 < a.size())
            mid_a = a[a_begin+k/2-1];
        if (b_begin+k/2-1 < b.size())
            mid_b = b[b_begin+k/2-1];

        if (mid_a < mid_b)
            return find_kth(a,a_begin+k/2,b,b_begin,k-k/2);
        return find_kth(a,a_begin,b,b_begin+k/2,k-k/2);
    }
};