問題介紹

這是個超級超級經典的分治演算法！！這個問題大致是說，如何在給定的兩個有序數組裡面找其中的中值，或者變形問題，如何在2個有序陣列陣列中查詢Top K的值（Top K的問題可以轉換成求第k個元素的問題）。這個演算法在很多實際應用中都會用到，特別是在當前大資料的背景下。

我覺得下面的這個思路特別好，特別容易理解！！請按順序看。是來自leetcode上的stellari英文答案，我整理並自己修改了一下。

預備知識

先解釋下“割”

我們通過切一刀，能夠把有序陣列分成左右兩個部分，切的那一刀就被稱為割(Cut)，割的左右會有兩個元素，分別是左邊最大值和右邊最小值。
我們定義L = Max(LeftPart)，R = Min(RightPart)

Ps. 割可以割在兩個數中間，也可以割在1個數上，如果割在一個數上，那麼這個數即屬於左邊，也屬於右邊。（後面講單陣列中值問題的時候會說）

比如說[2 3 5 7]這個序列，割就在3和5之間
[2 3 / 5 7]
中值就是（3+5）/2 = 4

如果[2 3 4 5 6]這個序列，割在4上，我們可以把4分成2個
[2 3 (4/4) 5 7]
中值就是（4+4）/2 = 4

這樣可以保證不管中值是1個數還是2個數都能統一運算。

割和第k個元素

對於單陣列，找其中的第k個元素特別好做，我們用割的思想就是：

常識1：如果在k的位置割一下，然後A[k]就是L。換言之，就是如果左側有k個元素，A[k]屬於左邊部分的最大值。（都是明顯的事情，這個不用解釋吧！）

雙陣列

我們設:
CiCi為第i個數組的割。
LiLi為第i個數組割後的左元素.
RiRi為第i個數組割後的右元素。

如何從雙數組裡取出第k個元素

1. 首先Li<=RiLi<=Ri是肯定的（因為陣列有序，左邊肯定小於右邊）
2. 如果我們讓L1<=R2L1<=R2 && L2<=R1L2<=R1
3. 那麼左半邊 全小於右半邊，如果左邊的元素個數相加剛好等於k，那麼第k個元素就是Max(L1,L2)，參考上面常識1。
4. 如果 L1>R2，說明陣列1的左邊元素太大（多），我們把C1減小，把C2增大。L2>R1同理，把C1增大，C2減小。

假設k=3

對於
[1479][1 4 7 9]
[235][2 3 5]

設C1 = 2，那麼C2 = k-C1 = 1
[14/79][1 4/7 9]
[2/35][2/3 5]

這時候，L1(4)>R2(3)，說明C1要減小，C2要增大，C1 = 1，C2=k-C1 = 2
[1/479][1/4 7 9]
[23/5][2 3/5]

這時候，滿足了L1<=R2L1<=R2 && L2<=R1L2<=R1，第3個元素就是Max(1,3) = 3。

如果對於上面的例子，把k改成4就恰好是中值。

下面具體來看特殊情況的中值問題。

雙陣列的奇偶

中值的關鍵在於，如何處理奇偶性，單陣列的情況，我們已經討論過了，那雙陣列的奇偶問題怎麼辦，m+n為奇偶處理方案都不同。

讓陣列恆為奇數

有沒有辦法讓兩個陣列長度相加一定為奇數或偶數呢？

其實有的，虛擬加入‘#'(這個trick在manacher演算法中也有應用)，讓陣列長度恆為奇數（2n+1恆為奇數）。
Ps.注意是虛擬加，其實根本沒這一步，因為通過下面的轉換，我們可以保證虛擬加後每個元素跟原來的元素一一對應

對映關係

這有什麼好處呢，為什麼這麼加?因為這麼加完之後，每個位置可以通過/2得到原來元素的位置。

在虛擬數組裡表示“割”

不僅如此，割更容易，如果割在‘#'上等於割在2個元素之間，割在數字上等於把數字劃到2個部分。

奇妙的是不管哪種情況：

Li = (Ci-1)/2
Ri = Ci/2

例：

1. 割在4/7之間‘#'，C = 4，L=(4-1)/2=1 ，R=4/2=2
   剛好是4和7的原來位置！
2. 割在3上，C = 3，L=(3-1)/2=1，R=3/2 =1，剛好都是3的位置！

剩下的事情就好辦了，把2個數組看做一個虛擬的陣列A，目前有2m+2n+2個元素，割在m+n+1處，所以我們只需找到m+n+1位置的元素和m+n+2位置的元素就行了。
左邊：A[m+n] = Max(L1+L2)
右邊：A[m+n+1] = Min(R1+R2)

Mid = (A[m+n]+A[m+n+1])/2
= (Max(L1+L2) + Min(R1+R2) )/2

至於在兩個數組裡找割的方案，就是上面的方案。

分治的思路

有了上面的知識後，現在的問題就是如何利用分治的思想。

怎麼分？

最快的分的方案是二分，有2個數組，我們對哪個做二分呢？
根據之前的分析，我們知道了，只要C1或C2確定，另外一個也就確定了。這裡，為了效率，我們肯定是選長度較短的做二分，假設為C1。

怎麼治？

也比較簡單，我們之前分析了：就是比較L1,L2和R1,R2。

• L1>R2，把C1減小，C2增大。—> C1向左二分
• L2>R1，把C1增大，C2減小。—> C1向右二分

越界問題

如果C1或C2已經到頭了怎麼辦？
這種情況出現在：如果有個陣列完全小於或大於中值。可能有4種情況：

• C1 = 0 —— 陣列1整體都比中值大，L1 >R2，中值在2中
• C2 = 0 —— 陣列1整體都比中值小，L1 <R2，中值在1中
• C1 = n*2 —— 陣列1整體都比中值小，L1 <R2，中位數在2中
• C2 = m*2 —— 陣列1整體都比中值大，L1 >R2，中位數在1中

考慮下面兩種情況了，解決方案：

• 如果C1 = 0 —> 那麼我們縮小L1，L1 = INT_MIN，保證判斷正確。
• 如果C1 = n*2 —> 那麼我們增大R1，R1 = INT_MAX，保證判斷正確。

剩下兩種情況解決方案類似。

程式碼

double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int n = nums1.size();
        int m = nums2.size();
        if(n > m)   //保證陣列1一定最短
            return findMedianSortedArrays(nums2,nums1);
        int L1,L2,R1,R2,c1,c2,lo = 0, hi = 2*n;  //我們目前是虛擬加了'#'所以陣列1是2*n+1長度
        while(lo <= hi)   //二分
        {
            c1 = (lo+hi)/2;  //c1是二分的結果
            c2 = m+n- c1;
            L1 = (c1 == 0)?INT_MIN:nums1[(c1-1)/2];   //map to original element
            R1 = (c1 == 2*n)?INT_MAX:nums1[c1/2];
            L2 = (c2 == 0)?INT_MIN:nums2[(c2-1)/2];
            R2 = (c2 == 2*m)?INT_MAX:nums2[c2/2];

            if(L1 > R2)
                hi = c1-1;
            else if(L2 > R1)
                lo = c1+1;
            else
                break;
        }
        return (max(L1,L2)+ min(R1,R2))/2.0;
    }
};