此文章轉自dalao部落格：http://www.cnblogs.com/SYCstudio/p/7194315.html

KMP演算法（研究總結，字串）

引入

首先我們來看一個例子，現在有兩個字串A和B，問你在A中是否有B，有幾個？為了方便敘述，我們先給定兩個字串的值
A="abcaabababaa"
B="abab"
那麼普通的匹配是怎麼操作的呢？
當然就是一位一位地比啦。（下面用藍色表示已經匹配，黑色表示匹配失敗）

但是我們發現這樣匹配很浪費!
為什麼這麼說呢，我們看到第4步：

在第4步的時候，我們發現第3位上c與a不匹配，然後第五步的時候我們把B串向後移一位，再從第一個開始匹配。

這裡就有一個對已知資訊很大的浪費，因為根據前面的匹配結果，我們知道B串的前兩位是ab，所以不管怎麼移，都是不能和b匹配的,所以應該直接跳過對A串第二位的匹配，對於A串的第三位也是同理。

或許這這個例子還不夠經典，我們再舉一個。

A="abbaabbbabaa"
B="abbaaba"

在這個例子中，我們依然從第1位開始匹配，直到匹配失敗：

abbaabbbabba
abbaaba
我們發現第7位不匹配
那麼我們若按照原來的方式繼續匹配，則是把B串向後移一位，重新從第一個字元開始匹配
abbaabbbabba
_abbaaba
依然不匹配，那我們就要繼續往後移咯。
且住！
既然我們已經匹配了前面的6位，那麼我們也就知道了A串這6位和B串的前6位是匹配的，我們能否利用這個資訊來優化我們的匹配呢？
也就是說，我們能不能在上面匹配失敗後直接跳到：
abbaabbbabba
____abbaaba
這樣就可以省去很多不必要的匹配。

KMP演算法

KMP演算法就是解決上面的問題的，在講述之前，我們先擺出兩個概念：

字首：指的是字串的子串中從原串最前面開始的子串，如abcdef的字首有：a,ab,abc,abcd,abcde
字尾：指的是字串的子串中在原串結尾處結尾的子串，如abcdef的字尾有：f,ef,def,cdef,bcdef

KMP演算法引入了一個F陣列（在很多文章中會稱為next,但筆者更習慣用F，這更方便表達），F[i]表示的是前i的字元組成的這個子串最長的相同字首字尾的長度！
怎麼理解呢？
例如字串aababaaba的相同字首字尾有a和aaba，那麼其中最長的就是aaba。

KMP演算法的難理解之處與本文敘述的約定

在繼續我們的講述之前，筆者首先講一下為什麼KMP演算法不是很好理解。
雖然說網上關於KMP演算法的部落格、教程很多，但筆者查閱很多資料，詳細講述過程及原理的不多，真正講得好的文章在定義方面又有細微的不同（當然，真正寫得好的文章也有，這裡就不一一列舉），比如說有些從1開始標號，有些next表示的是前一個而有些是當前的，通讀下來，難免會混亂。
那麼，為了防止讀者在接下來的內容中感到和筆者之前學習時同樣的困惑，在這裡先對下文做一些說明和約定。

1.本文中，所有的字串從0開始編號
2.本文中，F陣列（即其他文章中的next），F[i]表示0~i的字串的最長相同字首字尾的長度。

F陣列的運用

那麼現在假設我們已經得到了F的所有值，我們如何利用F陣列求解呢？
我們還是先給出一個例子（筆者用了好長時間才構造出這一個比較典型的例子啊）：
A="abaabaabbabaaabaabbabaab"
B="abaabbabaab"
當然讀者可以通過手動模擬得出只有一個地方匹配
abaabaabbabaaabaabbabaab
那麼我們根據手動模擬，同樣可以計算出各個F的值

B="a b a a b b a b a a b "
F= 0 0 1 1 2 0 1 2 3 4 5（2017.7.25 Update 這裡之前有一個錯誤，感謝@ 歌古道指正）（2017.7.29 Update 好吧，這裡原來還有一個錯誤，已經更正啦感謝@iwangtst）

我們再用i表示當前A串要匹配的位置（即還未匹配），j表示當前B串匹配的位置（同樣也是還未匹配），補充一下，若i>0則說明i-1是已經匹配的啦（j同理）。
首先我們還是從0開始匹配：

此時，我們發現，A的第5位和B的第5位不匹配（注意從０開始編號），此時i=5,j=5，那麼我們看F[j-1]的值：

F[5-1]=2;

這說明我們接下來的匹配只要從B串第２位開始（也就是第３個字元）匹配，因為前兩位已經是匹配的啦，具體請看圖：

然後再接著匹配：

我們又發現，A串的第13位和B串的第10位不匹配，此時i=13,j=10，那麼我們看F[j-1]的值：

F[10-1]=4

這說明B串的0~3位是與當前(i-4)~(i-1)是匹配的，我們就不需要重新再匹配這部分了，把B串向後移，從Ｂ串的第４位開始匹配：

這時我們發現A串的第13位和B串的第4位依然不匹配

此時i=13,j=4，那麼我們看F[j-1]的值：

F[4-1]=1

這說明B串的第0位是與當前i-1位匹配的，所以我們直接從B串的第1位繼續匹配：

但此時B串的第1位與A串的第13位依然不匹配

此時，i=13,j=1,所以我們看一看F[j-1]的值:

F[1-1]=0

好吧，這說明已經沒有相同的前後綴了，直接把B串向後移一位，直到發現B串的第0位與A串的第i位可以匹配（在這個例子中，i=13）

再重複上面的匹配過程，我們發現，匹配成功了！

這就是KMP演算法的過程。
另外強調一點，當我們將B串向後移的過程其實就是i++,而當我們不動B，而是匹配的時候，就是i++,j++，這在後面的程式碼中會出現，這裡先做一個說明。

最後來一個完整版的（話說做這些圖做了好久啊！！！！）：

F陣列的求解

既然已經用這麼多篇幅具體闡述瞭如何利用F陣列求解，那麼如何計算出F陣列呢？總不能暴力求解吧。

KMP的另外一個巧妙的地方也就在這裡，它利用我們上面用B匹配A的方法來計算F陣列，簡單點來說，就是用B串匹配B串自己！
當然，因為B串==B串，所以如果直接按上面的匹配，那是毫無意義的（自己當然可以完全匹配自己啦），所以這裡要變一變。

因為上面已經講過一部分了，先給出計算F的程式碼：

for (int i=1;i<m;i++)
{
    int j=F[i-1];
    while ((B[j+1]!=B[i])&&(j>=0))
        j=F[j];
    if (B[j+1]==B[i])
        F[i]=j+1;
    else
        F[i]=-1;
}

首先可以確定的幾點是：

1.F[0]=-1　(雖說這裡應該是０，但為了方便判越界，同時為了方便判斷第０位與第i位，程式中這裡置為-1)
2.這是一個從前往後的線性推導，所以在計算F[i]時可以保證F[0]~F[i-1]都是已經計算出來的了
3.若以某一位結尾的子串不存在相同的字首和字尾，這個位的F置為-1（這裡置為-1的原因同第一條一樣）

重要！：另外，為了在程式中表示方便，在接下來的說明中，F[i]=0表示最長相同字首字尾長度為１，即真實的最長相同字首字尾＝F[i]+1。(重要的內容要放大)
為什麼要這樣設定呢，因為這時F[i]代表的就不僅僅與前後綴長度有關了，它還代表著這個字首的最後一個字元在子串B中的位置。

所以，之前上面列出的F值要變一下（這裡用'_'輔助對齊）：

B="a _b a a b _b a b a a b "
F= -1 -1 0 0 1 -1 0 1 2 3 4

那麼，我們同樣可以推出，求解F的思路是：看F[i-1]這個最長相同字首字尾的後面是否可以接i，若可以，則直接接上，若不可以，下面再說。
舉個例子：
還是以B="abaabbabaab"為例，我們看到第2個。

B="a b a a b b a b a a b"
F=-1 -1

此時這個a的前一個b的F值為-1，所以此時a不能接在b的後面（b的相同最長字首字尾是０啊），此時，j=-1，所以我們判斷B[j+1]與B[2]，即B[0]與B[2]是否一樣。一樣，所以F[2]=j+1=0（代表前0~2字元的最長相同字首字尾的字首結束處是B[0],長度為0+1=1）。

再來看到第３個：

B="a b a a b b a b a a b"
F=-1 -1 0

開始時,j=F[3-1]=0，我們發現B[j+1=1]!=B[i=3]，所以j=F[j]=-1,此時B[j+1=0]==B[i=3]，所以F[3]=j+1=0。

最後舉個例子，看到第４個

B="a b a a b b a b a a b"
F=-1 -1 0 0

j首先為F[4-1]=0，我們看到B[j+1=1]==B[i]，所以F[i]=j+1=1。

後面的就請讀者自己慢慢推導了。再強調一遍，我們這樣求出來的F值是該最長相同字首字尾中的字首的結束字元的陣列位置（從０開始編號），如果要求最長相同字首字尾的長度，要輸出F[i]+1。

程式碼

求解F陣列：

for (int i=1;i<m;i++)
{
    int j=F[i-1];
    while ((B[j+1]!=B[i])&&(j>=0))
        j=F[j];
    if (B[j+1]==B[i])
        F[i]=j+1;
    else
        F[i]=-1;
}

利用F陣列尋找匹配，這裡我們是每找到一個匹配就輸出其開始的位置：

while (i<n)
{
    if (A[i]==B[j])
    {
        i++;
        j++;
        if (j==m)
        {
            printf("%d\n",i-m+1);//注意,這裡輸出的位置是從1開始標號的,如果你要輸出從0開始標號的位置,應該是是i-m.這份程式碼是我做一道題時寫的,那道題要求輸出的字串位置從1開始標號.感謝@Draymonder指出了這個疏漏,更多內容請看評論區
            j=F[j-1]+1;
        }
    }
    else
    {
        if (j==0)
            i++;
        else
            j=F[j-1]+1;
    }
}
例題請見下一篇文章。

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