二叉排序樹(查詢、插入、刪除)
“二叉排序樹,又稱為二叉查詢樹。它或者是一顆空樹,或者具有下列性質的二叉樹。
-
若它的左子樹不空,則左子樹上所有節點的值均小於它的根節點的值;
-
若它的右子樹不空,則右子樹上所有節點的值均大於它的根節點的值;
-
它的左、右子樹也分別為二叉排序樹。
構造一顆二叉排序樹的目的,其實並不是為了排序,而是為了提高查詢和插入刪除關鍵字的速度。不管怎麼說,在一個有序資料集上的查詢,速度總是要快於無序資料集的,而二叉排序樹這種非線性的結構,也有利於插入和刪除的實現。”
通俗的講,二叉排序樹的本質就是一顆二叉樹,只是關鍵字的排序比較有規律,能夠利用二叉樹的遞迴特性進行很方便的操作。在對於二叉排序樹的基本操作中,包括:根據資料集構建二叉排序樹(沒有要查詢的關鍵字,就插入)、查詢、刪除。其中,刪除操作時最麻煩的,插入和查詢的思路很像,下面詳解。
1、二叉排序樹的查詢操作
首先定義一個二叉樹的結構。
/* 二叉排序樹的節點結構定義 */
typedef struct BiTNode
{
int data;
struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTree;
查詢操作思路:
先查詢其根節點,如果根節點的資料與key值相等,則返回該根節點,並且返回TRUE;
否則, 如果key值大於根節點,則查詢其右子樹;
如果小於根節點,則查詢其左子樹。
程式碼如下:
int SearchBST( BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p ) { /* 遞迴查詢二叉排序樹T中是否存在key */ /* 指標f指向T的雙親,其初始呼叫值為NULL */ /* 若查詢成功,則指標p指向該資料元素節點,並返回TRUE */ /* 否則指標p指向查詢路徑上訪問的最後一個節點並返回FALSE */ if( !T ) { *p = f; //這是f唯一被用到的位置。 return FALSE; } else { if( key == T->data ) { *p = T; return TRUE; } else if( key > T->data ) return SearchBST( T->rchild, key, T, p ); /* 在右子樹繼續查詢 */ else return SearchBST( T->lchild, key, T, p ); /* 在左子樹繼續查詢 */ } } int SearchBST2( BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p ) { /*非遞迴*/ BiTree s; if( !T ) { *p = f; return FALSE; } else { while( T ) { if( key == T->data ) { *p = T; return TRUE; } if( key > T->data ) { s = T; T = T->rchild; } else { s = T; T = T->lchild; } } *p = s; return FALSE; } }
2、二叉排序樹的插入操作
程式碼如下:
int InsertBST1( BiTree *T, int key ) { /* 當二叉排序樹T中不存在關鍵字等於key的資料元素時 */ /* 插入key並返回TRUE,否則返回FALSE */ /* 呼叫查詢函式SearchBST,非遞迴 */ BiTree p, s; if( !SearchBST2( *T, key, NULL, &p ) ) { s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); s->data = key; s->lchild = s->rchild = NULL; if( !p ) *T = s; /* 插入s為根節點,此前樹為空樹 */ else if( key > p->data ) p->rchild = s; /* 插入s為右孩子 */ else p->lchild = s; /* 插入s為左孩子 */ return TRUE; } return FALSE; } int InsertBST2( BiTree *T, int key ) { /* 當二叉排序樹T中不存在關鍵字等於key的資料元素時 */ /* 插入key並返回TRUE,否則返回FALSE */ /* 未呼叫查詢函式,遞迴插入 */ if( !(*T) ) /* 樹為空, */ { (*T) = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); /* 這個位置要留心,要重新分配空間,*T為空,說明未曾分配空間 */ (*T)->data = key; (*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL; return TRUE; } if( key == (*T)->data ) return FALSE; if( key > (*T)->data ) return InsertBST2( &((*T)->rchild), key ); /* 插入右孩子 */ else return InsertBST2( &((*T)->lchild), key ); /* 插入左孩子 */ }
3、二叉樹的刪除操作(相對複雜一些)
刪除節點有三種情況分析:
a. 葉子節點;(直接刪除即可)
b.
僅有左或右子樹的節點;(上移子樹即可)
c.
左右子樹都有的節點。( 用刪除節點的直接前驅或者直接後繼來替換當前節點,調整直接前驅或者直接後繼的位置)
程式碼如下:
int DeleteBST(BiTree *T, int key)
{
/* 若二叉排序樹T中存在關鍵字等於key的資料元素時,則刪除該資料元素節點 */
/* 並返回TRUE;否則返回FALSE */
if( !(*T))
return FALSE; /* 不存在關鍵字等於key的資料元素 */
else
{
if( key == (*T)->data )
Delete(T);
else if( key < (*T)->data)
return DeleteBST(&(*T)->lchild, key);
else
return DeleteBST(&(*T)->rchild, key);
}
}
int Delete(BiTree *p)
{
/* 從二叉排序樹中刪除節點p, 並重接它的左或右子樹 */
BiTree q, s;
if( !(*p)->lchild && !(*p)->rchild ) /* p為葉子節點 */
*p = NULL;
else if( !(*p)->lchild ) /* 左子樹為空,重接右子樹 */
{
q = *p;
*p = (*p)->rchild;
free(q);
}
else if( !(*p)->rchild ) /* 右子樹為空,重接左子樹 */
{
q = *p;
*p = (*p)->lchild;
free(q);
}
else /* 左右子樹均不為空 */
{
q = *p;
s = (*p)->lchild;
while(s->rchild) /* 轉左,然後向右走到盡頭*/
{
q = s;
s = s->rchild;
}
(*p)->data = s->data;
if( q != *p ) /* 判斷是否執行上述while迴圈 */
q->rchild = s->lchild; /* 執行上述while迴圈,重接右子樹 */
else
q->lchild = s->lchild; /* 未執行上述while迴圈,重接左子樹 */
free(s);
}
return TRUE;
}
總結:二叉樹以鏈式方式儲存,保持了連結儲存結構在執行插入或刪除操作時不用移動元素的優點,只要找到合適的插入和刪除位置後,僅需要修改連結指標節課。插入刪除的時間效能比較好。而丟與二拆排序樹的查詢,走的就是從根節點到要查詢的節點的路徑,其比較次數等於給定值的節點在二叉排序樹的層數。極端情況,最少為1次,即根節點就是要找的節點,最多也不會超過樹的深度。也就是說,二叉排序樹的查詢效能取決於二叉排序樹的形狀。可問題就在於,二叉排序樹的形狀是不確定的。
例如{62,88,58,47,35,73,51,99,37,93}這樣的陣列,我們可以構建一顆正常的二叉排序樹。但是如果陣列元素的次序是從小到大有序,如{35,37,47,51,58,62,73,88,93,99},則二拆排序樹就成了極端的單支樹,注意它依然是一顆二叉排序樹。同樣是查詢節點99,左圖只需要兩次比較,而右圖就需要10次比較才可以得到結果,而這差異很大。
也就是說,我們希望二叉排序樹是比較平衡的,即其深度與完全二叉樹相同。
這樣就延續到了另一篇部落格中要講解的平衡二叉樹。
附加:完整程式碼
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define TRUE 1
#define FALSE 0
/* 二叉排序樹的節點結構定義 */
typedef struct BiTNode
{
int data;
struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTree;
int SearchBST( BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p )
{
/* 遞迴查詢二叉排序樹T中是否存在key */
/* 指標f指向T的雙親,其初始呼叫值為NULL */
/* 若查詢成功,則指標p指向該資料元素節點,並返回TRUE */
/* 否則指標p指向查詢路徑上訪問的最後一個節點並返回FALSE */
if( !T )
{
*p = f; //這是f唯一被用到的位置。
return FALSE;
}
else
{
if( key == T->data )
{ *p = T; return TRUE; }
else if( key > T->data )
return SearchBST( T->rchild, key, T, p ); /* 在右子樹繼續查詢 */
else
return SearchBST( T->lchild, key, T, p ); /* 在左子樹繼續查詢 */
}
}
int SearchBST2( BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p )
{
/*非遞迴*/
BiTree s;
if( !T )
{ *p = f; return FALSE; }
else
{
while( T )
{
if( key == T->data )
{ *p = T; return TRUE; }
if( key > T->data )
{ s = T; T = T->rchild; }
else
{ s = T; T = T->lchild; }
}
*p = s;
return FALSE;
}
}
int InsertBST1( BiTree *T, int key )
{
/* 當二叉排序樹T中不存在關鍵字等於key的資料元素時 */
/* 插入key並返回TRUE,否則返回FALSE */
/* 呼叫查詢函式SearchBST,非遞迴 */
BiTree p, s;
if( !SearchBST2( *T, key, NULL, &p ) )
{
s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
s->data = key;
s->lchild = s->rchild = NULL;
if( !p )
*T = s; /* 插入s為根節點,此前樹為空樹 */
else if( key > p->data )
p->rchild = s; /* 插入s為右孩子 */
else
p->lchild = s; /* 插入s為左孩子 */
return TRUE;
}
return FALSE;
}
int InsertBST2( BiTree *T, int key )
{
/* 當二叉排序樹T中不存在關鍵字等於key的資料元素時 */
/* 插入key並返回TRUE,否則返回FALSE */
/* 未呼叫查詢函式,遞迴插入 */
if( !(*T) ) /* 樹為空, */
{
(*T) = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); /* 這個位置要留心,要重新分配空間,*T為空,說明未曾分配空間 */
(*T)->data = key;
(*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL;
return TRUE;
}
if( key == (*T)->data )
return FALSE;
if( key > (*T)->data )
return InsertBST2( &((*T)->rchild), key ); /* 插入右孩子 */
else
return InsertBST2( &((*T)->lchild), key ); /* 插入左孩子 */
}
void order(BiTree t)//中序輸出
{
if(t == NULL)
return ;
order(t->lchild);
printf("%d ", t->data);
order(t->rchild);
}
int DeleteBST(BiTree *T, int key)
{
/* 若二叉排序樹T中存在關鍵字等於key的資料元素時,則刪除該資料元素節點 */
/* 並返回TRUE;否則返回FALSE */
if( !(*T))
return FALSE; /* 不存在關鍵字等於key的資料元素 */
else
{
if( key == (*T)->data )
Delete(T);
else if( key < (*T)->data)
return DeleteBST(&(*T)->lchild, key);
else
return DeleteBST(&(*T)->rchild, key);
}
}
int Delete(BiTree *p)
{
/* 從二叉排序樹中刪除節點p, 並重接它的左或右子樹 */
BiTree q, s;
if( !(*p)->lchild && !(*p)->rchild ) /* p為葉子節點 */
*p = NULL;
else if( !(*p)->lchild ) /* 左子樹為空,重接右子樹 */
{
q = *p;
*p = (*p)->rchild;
free(q);
}
else if( !(*p)->rchild ) /* 右子樹為空,重接左子樹 */
{
q = *p;
*p = (*p)->lchild; /* 不太理解 */
free(q);
}
else /* 左右子樹均不為空 */
{
q = *p;
s = (*p)->lchild;
while(s->rchild) /* 轉左,然後向右走到盡頭*/
{
q = s;
s = s->rchild;
}
(*p)->data = s->data;
if( q != *p ) /* 判斷是否執行上述while迴圈 */
q->rchild = s->lchild; /* 執行上述while迴圈,重接右子樹 */
else
q->lchild = s->lchild; /* 未執行上述while迴圈,重接左子樹 */
free(s);
}
return TRUE;
}
void main()
{
int i;
int a[10] = {62,88,58,47,35,73,51,99,37,93};
BiTree T = NULL;
for( i = 0; i < 10; i++ )
InsertBST1(&T, a[i]);
printf("中序遍歷二叉排序樹:\n");
order(T);
printf("\n");
printf("刪除58後,中序遍歷二叉排序樹:\n");
DeleteBST(&T,58);
order(T);
printf("\n");
}