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在中學的平面幾何或立體幾何中，我們常說兩個向量的內積為0，則二者是垂直的。因為可以清晰的畫出圖形，並且求出二者的夾角為90°。

但是對於三維以上的向量，你說它垂直就顯得有點奇怪了。因為三維以上的圖形我們是畫不出來的。但這向量們的內積可是為0呢，因此我們給出它一個新的名字：正交。

其實高等數學中講傅立葉級數的時候，也有正交這一概念，但是為函式之間的正交（兩函式的“內積”為0）。這裡的內積其實是它們在某定義內的積分為0。比如說cosx與sinx，在（-π，π）上的定積分為0，則這兩函式正交。

我們今天的話題主要是向量之間的正交

這就是我們要說的施密特正交化。這個詞，只要學習過線性代數的同學，都聽說過，而且還略帶畏懼，究其原因是施密特正交化的公式特別難記住。

Example1：假設有一組線性無關的向量 α1、α2，怎麼去通過這兩個向量構造出正交向量組呢？

我們先控制住一個向量：β1 = α1，那現在只要找到另外一個新的向量β2，使得β2與β1內積為0即可。那如和尋找呢？

因為β2是由β1、α2

構造而成，所以我們可以假設：

因為β2與β1內積為0，則

即

因此

這裡我們可以直接令k2 = 1，因為內積為0，所以其中某個向量乘以一個非0的數，結果都不會改變。於是我們的得出了新的一組正交向兩組β1

Example2：如果線性無關的向量組含有三個向量α1、α2、α3，如何轉化為三個相互正交向量呢？

根據例1可知，我們目前已經由α1、α2構造出了兩個正交的向量β1與β。因此可以作如下假設：

再由（β1，β3）= 0，推出

其中（β1，β2）= 0。

再由（β2，β3）= 0，推出

其中（β1，β2）= 0。

因此

同樣，我們令k3 = 1，則

推廣：從上述兩個例子，我們可以找到這樣的規律，對於n個線性無關的向量，將其正交化的公式為：

通過這種變換為正交向量的方法我們稱之為格拉姆-斯密特正交化。

對於這樣的一個公式，說真的很容易忘記，但根據我們這種推導，以後忘記了，我們也可自己推算出來，學習數學真的不能靠硬記。

施密特正交化，可以將一組基轉化為正交基，通常在正交分解（QR分解）中應用。我們之後會講到。