首先我們討論一下什麼叫濾波器，一個濾波器就是一段含有噪聲的訊號，經過這個濾波器之後，變成了另一個訊號，只不過，這個訊號比較特殊，它和原來的訊號有聯絡，這個聯絡就是現在的訊號是原來訊號的+噪聲訊號。這就是輸出訊號，和輸入訊號的相關性。

既然濾波器就是這麼一個東西h(n),我們現在就只去尋找或者設計一個這樣的，可以實現h(n)的黑匣子。

我們知道無論什麼系統，它的輸入，輸出和系統之間都滿足這麼一個關係：輸出=輸入卷積系統傳遞函式，這個是所以系統都滿足的性質。那麼我們的濾波器系統不僅滿足啥上面那個特殊的式子，還滿足這個基本的式子。這個式子在離散狀態下的表示式就是

這是一個求和公式。這個式子是我們進行一切操作的基礎。

這裡我們先進行一個小插曲，有了上面那個公式之後，我們現在要找到可以消去噪聲V（n）的系統。

1.  可以消去V（n）就是這個系統的特性，我們要根據這個特性來找到這個系統具有的其他性質，通過其他性質來確定這個系統。這時就利用我們的最小均方差準則來，通過現在的輸出和先驗輸出之差的平方來計算誤差，只要找到滿足條件h(n)的性質，就可以找到濾波器的性質。這時一種思路，還有一種思路就是：

2.  我們根據濾波器性質，輸出=輸入+噪聲卷積系統傳遞函式，這樣求解h(n)就可以了，這時求出的h(n),滿足將誤差消除的性質。但是這裡我們是要把誤差減小到0，實際中，要是將誤差減小到0，可能這個方程是無解的。但是每個方程基本上都會有一個最優的解，這就是大部分研究所追尋的方向，就是不是尋找為0的那個解，能找到最優的那個解就行了，什麼東西，不是要找那個最好的，有優秀的，而是要尋找那個適合自己的，這個適合自己的就是你的最優解。如果，強求找的為0的那個解，到最後花了很大的力氣可能會發現，這是的無解的方程式。

說道最優，什麼叫最優。找物件要有標準別人或者自己才能找到，最優也要有標準，才能找到這個最優解。我們這裡的準則來源於訊號恢復準確性判斷標準，標準有：誤差大代數和最小，誤差的絕對值和最小，誤差的平方和最小。我們這裡採用的準則是均方誤差最小準則：最小均方差準則：好處，運算處理簡單，對大的噪聲敏感，對小的噪聲不敏感。

有了這個標準之後，我們就可以去找物件了，不對，是找到最優解。首先要將這個準則用我們具體的函式式表達出來，這裡我們用現在的輸出s(n)減去先驗輸出（根據以往式子推到出的現在的結果—理想結果）這就是誤差。表示式有了，我們要找出使這個表示式最小時的那個h(n)。這就是你心目中最合適的那個人。解的過程，就是找人的過程。我們這裡利用求導的方法，求出函式式最小時那個解。

我們這裡通過求導求解，得出瞭解的方程：

這是我們從相關性方面研究這個方程式了，現在我們就來想想怎麼從這個方程中解出我們真正需要的解h(n),有兩種可能性：

1：通過Z變換來求解；

2.利用FIR濾波器來實現。

---通過變換成方程矩陣的形式。

求解變換：

同時均方差也可以用自相關函式來表達（性質是相同的）：

現在我們得出表示式了，但是感覺這個解還是不太好求，這時有一種新的求解方法：引入白噪聲。因為任意一種訊號的功率譜密度都可以看做白噪聲激勵一個物理網路形成的。

我們將求解h(n)，變成倆步，先求白噪聲，再由白噪聲求輸出訊號，這樣過程就簡單了。

原始問題轉化為求最小G（Z）問題；

上面求解時物理不可實現的理想狀態下的解（Z域變化），下面介紹一下，物理可以實現的求解：（自相關性）。

在功率譜方面的表達就是：

從這個式子中我們可以看出：最小均方差不僅和輸入訊號的功率有關，還和訊號和噪聲功率譜乘積有關。

最後得到：