定義　　求一個數a的平方根的運算，叫做開平方（extraction of square root),其中a叫做被開方數。 　　a必須大於或等於零，即a為非負數 　　開方公式 　　X（n + 1） = Xn + (A / Xn – Xn)1 / 2.。（n，n+1與是下角標） 　　開平方的理論依據 　　開平方是平方的逆運算，只要我們知道平方的計算方法，開平方就迎刃而解了。 　　我們令10位數值為A，個位數值為B，即為A*10+B，根據二數和的平方有： 　　（A*10+B）^2=（A*10）^2+2（A*10）*B+B^2=（A^2）*100+（20A+B）*B。 　　舉例說明：例359^2計算方法 　　1、3^2=9， 　　2、（20*3+5）*5=325， 　　3、（20*35+9）*9=6381， 　　4、將這些數，按兩位分節合起來：90000+32500+6381=128881。得359^2=128881。 　　將這些計算步驟倒過來，就是開平方。同理，可以得開立方及N次方的方法。

編輯本段開方的計算步驟

　　1．將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段，用撇號分開（豎式中的11’56），分成幾段，表示所求平方根是幾位數；

筆算開平方方法

　　2．根據左邊第一段裡的數，求得平方根的最高位上的數（豎式中的3）； 　　3．從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段陣列成第一個餘數（豎式中的256）； 　　4．把求得的最高位數乘以20去試除第一個餘數，所得的最大整數作為試商（20×3除256，所得的最大整數是 4，即試商是4）； 　　例項　開方公式 　　X（n + 1） = Xn + ( Xn – Xn)1 / 2.。（n，n+1與是下角標） 　　例如，A=5： 　　5介於2的平方至3的平方;之間。我們取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取 中間值2.5。 　　第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=22；輸入值大於輸出值，負反饋； 　　即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位數2.2。

　　第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；輸入值小於輸出值，正反饋； 　　即5/2.2=2.27272，2.27272-2.2=0.07272，0.07272×1/2=0.03636，2.2+0.03636=2.23636。取3位數2.23。 　　第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。 　　即5/2.23=2.2421525，,2.2421525-2.23=0.0121525，,0.0121525×1/2=0.00607，,2.23+0.006=2.236.，取4位數。 　　每一步多取一位數。這個方法又叫反饋開方，即使你輸入一個錯誤的數值，也沒有關係，輸出值會自動調節，接近準確值。 　　例如A=200. 　　200介如10的平方---20的平方之間。初始值可以取11，12，13，14，15，16，17，18，19。我們去15. 　　15+（200/15-15)1/2=14。取19也一樣得出14.。：19+（200/19-19)1/2=14.。 　　14+(200/14-14)1/2=14.1。

　　14.1+（200/14.1-14.1)1/2=14.14.

//為了取第一個靠近值，網上學習的一個開方整數的函式

//該函式能算出目標值的整數位，在此用來計算我們要取的第一個目標值
unsigned long sqrt_16(unsigned long a){     

 unsigned long rem = 0;
 unsigned long root = 0;
 unsigned long divisor = 0;
 for(int i=0; i<16; i++){
  root <<= 1;
  rem = ((rem << 2) + (a >> 30));
  a <<= 2;
  divisor = (root<<1) + 1;
  if(divisor <= rem){
   rem -= divisor;
   root++;
  }
 }
 return root;//(unsigned short)(root);
}


float sqrt_new(float m)
{
 unsigned long s=0;
 float t=0.0;
 
 if (m>=1.00)
 {
  s=sqrt_16(unsigned long(m));
  t=s+(m/s-s)/2;
 }
 else {
  t=float(0.4);
  t=t+(m/t-t)/2;  //牛頓切線法  
  t=t+(m/t-t)/2;  //次數越多，精度越高
  t=t+(m/t-t)/2;  
  t=t+(m/t-t)/2;  //精確可以在0.0001開方
 }
// t=t+(m/t-t)/2;
 t=t+(m/t-t)/2;
 t=t+(m/t-t)/2;
 return t;
}


void main()
{
 while(1)
 {
  float x;
  cout<<"Please input a num:";
  cin>>x;
  cout<<sqrt_new(x)<<endl;
  cout<<sqrt(x)<<endl;
 }
}