MST（Minimum Spanning Tree，最小生成樹）問題有兩種通用的解法，Prim演算法就是其中之一，它是從點的方面考慮構建一顆MST，大致思想是：設圖G頂點集合為U，首先任意選擇圖G中的一點作為起始點a，將該點加入集合V，再從集合U-V中找到另一點b使得點b到V中任意一點的權值最小，此時將b點也加入集合V；以此類推，現在的集合V={a，b}，再從集合U-V中找到另一點c使得點c到V中任意一點的權值最小，此時將c點加入集合V，直至所有頂點全部被加入V，此時就構建出了一顆MST。因為有N個頂點，所以該MST就有N-1條邊，每一次向集合V中加入一個點，就意味著找到一條MST的邊。

用圖示和程式碼說明：

初始狀態：

設定2個數據結構：

lowcost[i]:表示以i為終點的邊的最小權值,當lowcost[i]=0說明以i為終點的邊的最小權值=0,也就是表示i點加入了MST

mst[i]:表示對應lowcost[i]的起點，即說明邊<mst[i],i>是MST的一條邊，當mst[i]=0表示起點i加入MST

我們假設V1是起始點，進行初始化（*代表無限大，即無通路）：

lowcost[2]=6，lowcost[3]=1，lowcost[4]=5，lowcost[5]=*，lowcost[6]=*

mst[2]=1，mst[3]=1，mst[4]=1，mst[5]=1，mst[6]=1，

明顯看出，以V3為終點的邊的權值最小=1，所以邊<mst[3],3>=1加入MST

此時，因為點V3的加入，需要更新lowcost陣列和mst陣列：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=5，lowcost[5]=6，lowcost[6]=4

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=1，mst[5]=3，mst[6]=3

明顯看出，以V6為終點的邊的權值最小=4，所以邊<mst[6],6>=4加入MST

此時，因為點V6的加入，需要更新lowcost陣列和mst陣列：

lowcost[2]=5，

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=6，mst[5]=3，mst[6]=0

明顯看出，以V4為終點的邊的權值最小=2，所以邊<mst[4],4>=4加入MST

此時，因為點V4的加入，需要更新lowcost陣列和mst陣列：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=3，mst[6]=0

明顯看出，以V2為終點的邊的權值最小=5，所以邊<mst[2],2>=5加入MST

此時，因為點V2的加入，需要更新lowcost陣列和mst陣列：

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=3，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=2，mst[6]=0

很明顯，以V5為終點的邊的權值最小=3，所以邊<mst[5],5>=3加入MST

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=0，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=0，mst[6]=0

至此，MST構建成功，如圖所示：

根據上面的過程，可以容易的寫出具體實現程式碼如下（cpp）：

#include<iostream>
#include<fstream>
using  namespace std;

#define MAX 100
#define MAXCOST 0x7fffffff

int graph[MAX][MAX];

int prim(int graph[][MAX], int n)
{
	int lowcost[MAX];
	int mst[MAX];
	int i, j, min, minid, sum = 0;
	for (i = 2; i <= n; i++)
	{
		lowcost[i] = graph[1][i];
		mst[i] = 1;
	}
	mst[1] = 0;
	for (i = 2; i <= n; i++)
	{
		min = MAXCOST;
		minid = 0;
		for (j = 2; j <= n; j++)
		{
			if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0)
			{
				min = lowcost[j];
				minid = j;
			}
		}
		cout << "V" << mst[minid] << "-V" << minid << "=" << min << endl;
		sum += min;
		lowcost[minid] = 0;
		for (j = 2; j <= n; j++)
		{
			if (graph[minid][j] < lowcost[j])
			{
				lowcost[j] = graph[minid][j];
				mst[j] = minid;
			}
		}
	}
	return sum;
}

int main()
{
	int i, j, k, m, n;
	int x, y, cost;
	ifstream in("input.txt");
	in >> m >> n;//m=頂點的個數，n=邊的個數
	//初始化圖G
	for (i = 1; i <= m; i++)
	{
		for (j = 1; j <= m; j++)
		{
			graph[i][j] = MAXCOST;
		}
	}
	//構建圖G
	for (k = 1; k <= n; k++)
	{
		in >> i >> j >> cost;
		graph[i][j] = cost;
		graph[j][i] = cost;
	}
	//求解最小生成樹
	cost = prim(graph, m);
	//輸出最小權值和
	cout << "最小權值和=" << cost << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

6 10
1 2 6
1 3 1
1 4 5
2 3 5
2 5 3
3 4 5
3 5 6
3 6 4
4 6 2
5 6 6

V1-V3=1
V3-V6=4
V6-V4=2
V3-V2=5
V2-V5=3
最小權值和=15
請按任意鍵繼續. . .